Моделиране на гравитация и триене

Сега да се опитаме да направим нашите сили малко по-реалистични, като подобрим гравитацията от последния пример и се запознаем със силата на триене.

Гравитацията на Земята

Може би забеляза нещо доста неточно в последния ни пример. Колкото по-малък е кръгът, толкова по-бързо пада. В това има логика; в крайна сметка тъкмо споменахме (според втория закон на Нютон), че колкото по-малка е масата, толкова по-голямо е ускорението.

Но това не се случва в реалния свят. Ако се покатериш на върха на Наклонената кула в Пиза и пуснеш две топчета с различна маса, кое от двете ще удари земята първо? Според легендата Галилео е направил точно такъв опит през 1589 година, когато открил, че двата предмета падат с еднакво ускорение и достигат земята по едно и също време.

Защо това е така? Както ще видим по-късно в курса, силата на гравитацията се изчислява по отношение на масата на обекта. Колкото по-голям е обектът, толкова по-голяма е силата. Така, ако силата е изчислена в мащаб по отношение на масата, тя се унищожава, когато ускорението се раздели на масата. Можем да имплементираме това в нашия чертеж доста лесно, като умножим нашето измислено ускорение (поради силата на гравитацията) по масата:

for (var i = 0; i < movers.length; i++) {
    gravity.set(0, 0{,}1 * movers[i].mass);
    movers[i].applyForce(gravity);
    …
}

Докато всички обекти сега падат с една и съща скорост, по-малките обекти все още ускоряват надясно по-бързо, защото силата на вятъра е независима от масата.

Измислянето на сили ще ни доведе доста далече. Светът на ProcessingJS е измислен свят на пиксели, а ти властваш над него. Така че силата ще бъде такова число, което ти прецениш за подходящо. Въпреки това, ще дойде момент, в който ще се зачудиш "Как всъщност работи това?"

Отвори който и да е учебник по физика от гимназията и ще намериш диаграми и формули, които описват много различни сили – гравитация, електромагнетизъм, напрежение, еластичност и много други. Или пък можеш дори да разгледаш уроците по физика в Кан Академия. В този раздел ще разгледаме 2 сили – триене и гравитация. Тук не искаме да кажем, че триенето и гравитацията са фундаментални сили, които винаги ще трябва да имаш в своите ProcessingJS програми. Вместо това искаме да оценим тези две сили като казуси в следния процес:

Разбиране на понятието, което стои зад една сила
Разбиване на формулата на силата на две части:
- Как изчисляваме посоката на силата?
- Как да изчислим големината на силата?
Превеждаме тази формула до ProcessingJS код, изчисляващ един PVector, който да бъде изпратен на функцията applyForce() на нашия обект Mover.

Ако можем да последваме горните стъпки с 2 сили, то, да се надяваме, че ако ти се случи да търсиш в Google “атомно ядро слаба атомна сила" в 3 часа сутринта, ще имате уменията да вземеш това, което намериш, и да го адаптираш към една ProcessingJS програма.

Справяне с формулите

Добре, след момент ще напишем формулата за триене. Това не е първият път, когато виждаме формула в този курс; тъкмо завършихме дискусията за втория закон на Нютон,

\vec{F} = M \cdot \vec{A}

(или сила = маса * ускорение). Не прекарахме много време в тревоги по тази формула, защото тя е приятна и проста. Въпреки това светът навън е страшен. Само погледни уравнението за "нормално"-то разпределение, за което говорихме (без да гледаме формулата) във въведението.

f (x, μ, σ) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{(- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}

Това, което виждаме, е, че формулите обичат да използват доста символи (и доста често букви от гръцката азбука). Нека да разгледаме формулата за триене.

\vec{Т р и е н е} = - µ N \hat{v}

Ако от известно време не ти е попадала формула от математиката или от физиката, нека разгледаме 3 ключови момента, които е важно да преговорим, преди да продължим.

Изчисляваме дясната страна, присвояваме я на лявата страна. Това е съвсем същото като в кода! Това, което правим тук, е да изчислим дясната страна на уравнението и да я присвоим на лявата страна. В горния случай искаме да изчислим силата на триенето – лявата страна ни казва какво искаме да изчислим, а дясната страна ни казва как да го направим.
Дали говорим за вектор или за скалар? За нас е важно да разберем, че в някои случаи ще търсим вектор, а в други – скаларна величина. Например в този случай силата на триенето е вектор. Можем да разберем това по стрелката над думата "триене". Той има величина и посока. Дясната страна на уравнението също има вектор, което се указва от символа $\hat{v}$ ‍, който в този случай означава едичен вектор за скорост.
Когато символите са разположени един до друг, знаем, че трябва да се умножат. Горната формула всъщност има четири елемента: -1, $µ$ ‍, $N$ ‍ и $\hat{v}$ ‍. Трябва да ги умножим един по друг и да прочетем формулата по следния начин: $\vec{Т р и е н е} = - µ N \hat{v}$ ‍

Триене

Да започнем с триенето и да следваме нашите стъпки.

Триенето е дисипативна сила. Дисипативната сила е такава, в която общата енергия на системата намалява, когато един обект е в движение. Да речем, че караш кола. Когато натиснеш с крака си педала на спирачката, спирачките на колата използват триене, за да забавят движението на колелата на колата. Кинетичната енергия (движението) се превръща в топлинна енергия (топлина). Когато две повърхности са в контакт една с друга, те изпитват триене. Завършеният модел на триенето включва отделни случаи на статично триене (тяло в покой срещу повърхност) и кинетично триене (тяло в движение срещу повърхност), но за нашите цели ще разгледаме само кинетичния случай.

Ето и формула за триенето заедно с илюстрация:

От нас зависи да разделим тази формула на два компонента, които определят посоката на триенето и неговата величина. Според горната диаграма можем да видим, че триенето има посока, обратна на посоката на скоростта. Всъщност това е частта от формулата, която гласи

- 1 * \hat{v}

или -1 по единичния вектор на скоростта. В ProcessingJS това ще означава да вземем вектора на скоростта, да го нормализираме и да го умножим по -1.

var friction = velocity.get();
friction.normalize();
// Да намерим посоката на силата на триене 
// (единичен вектор в посока, обратна на посоката на скоростта).
friction.mult(-1);

Забележи двете допълнителни стъпки тук. Първо важно е да пазим копие на вектора на скоростта, тъй като не искаме по случайност да обърнем посоката на обекта. И второ – нормализираме вектора. Това е така, защото величината на триенето не е свързана с това колко бързо се движи, а ние искаме да започнем с вектор на триене с величина 1, за да може лесно да се скалира.

Според формулата величината е

μ * N

. μ, гръцката буква мю (изговаря се "мю"), и се използва, за да опише коефициента на триене. Коефициентът на триене установява силата на триенето за определена повърхност. Колкото по-висок е този коефициент, толкова по-силно е триенето; колкото по-нисък е, толкова по-слабо е триенето. Например един леден блок ще има много по-нисък коефициент на триене в сравнение с, да речем, оризова хартия. Тъй като сме в измисления свят на ProcessingJS, можем да дадем на този коефициент стойност според това какво триене искаме да получим.

var c = 0{,}01;

И сега за втората част: N. N означава нормалната сила, силата – силата на контакта, която се упражнява от обекти, които се докосват. По-точно, това е перпендикулярното упражняване на тази сила.

Помисли за превозно средство, което се движи по пътя. Превозното средство се привлича към пътя от силата на гравитацията, а третият закон на Нютон ни казва, че пътят на свой ред отблъсква превозното средство. Това е нормалната сила. В простия случай, в който един обект се движи хоризонтално, нормалната сила се равнява на масата, умножена по силата на гравитацията,

F_{n} = m g

. Това значи, че един лек спортен автомобил би упражнил по-малка нормална сила и би изпитал по-малко триене в сравнение с тежък камион или трактор.

В случая с горната диаграма с шейната, където обектът се движи по някаква повърхност под ъгъл, изчисляването на нормалната сила е малко по-сложно, защото тя не сочи в същата посока като гравитацията. Сега трябва да разберем нещо за ъглите и за тригонометрията.

Засега нашата цел е да постигнем просто "достатъчно добра", а не идеална, симулация в нашите ProcessingJS програми. Например можем да накараме триенето да работи, като приемем, че нормалната сила винаги ще има величина 1. Тогава нашето N ще бъде:

var normal = 1;

Когато стигнем до тригонометрията в следващата глава, ще се върнем към този въпрос и ще направим своя пример за триене малко по-сложен.

Сега след като имаме и величина, и посока за триенето, можем да съберем всичко заедно...

var c = 0{,}01;
var normal = 1;
var frictionMag = c * normal;
var friction = movers[i].velocity.get();
friction.mult(-1);
friction.normalize();
friction.mult(frictionMag);

…и да го добавим към примера за "сили", в който много обекти изпитват вятър, гравитация и сега триене:

Ако гледаш известно време как тази програма се изпълнява, ще забележиш, че кръговете се движат все по-малко и се приближават до една област. Тъй като триенето постоянно отблъсква обекта в обратна посока на неговото движение, обектът постоянно се забавя. Това може да е полезна техника или проблем, в зависимост от целта на твоята визуализация.

Курсът "Компютърни симулации на физични явления" е производeн на "Природата на кода" от Даниел Шифман, използвана от Creative Commons Attribution-NonCommercial 3,0 Unported License.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.