Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:46

Видео транскрипция

Представи си, че подредим всички цели числа спираловидно и оцветим простите числа в синьо и оставим съставните числа в черно. Ето един интересен въпрос, който можем да си зададем: "Какъв е броят на простите числа в сравнение с броя на съставните?" Първо, нека се отдалечим, за да видим цялата картина. Забележи, че цветът на простите числа е наситен в центъра, а с увеличаване на разстоянието става по-блед, но никога не изчезва. Обичам да мисля за това по следния начин: представи си, че в центъра има дърво, което е безкрайно високо. Листата, падащи от това дърво, са простите числа, които са разпилени непредсказуемо, нагъсто близо до основата на дървото, а когато се отдалечаваме от това дърво, намираме все по-малко листа, но въпреки това винаги ги намираме. Точно това се случва, когато гледаме все по-големи и големи цели числа. Винаги намираме още прости числа, макар че броят им постепенно намалява, колкото по-далеч ги търсим. Да се върнем на нашия въпрос. Колко са простите числа, които са по-малки от някакво число х? Ако направим таблица, виждаме, че броят на простите числа винаги нараства. Макар че като търсим по-надалеч, намираме все по-малко и по-малко. Да нанесем на графика броя на простите числа, които сме намерили, по вертикалната ос, и размера на търсеното число х по хоризонталната ос. Отдалечаваме се, за да включим милиарди числа, и забелязваме, че кривата никога не става равна. Тя винаги расте, макар и постепенно. Първо, да помислим за плътността на простите числа, които са по-малки от някакво цяло число х. Можем да намерим плътността, като разделим броя на намерените прости числа на размера на търсеното число х. За първите 100 цели числа намираме 25 прости числа, следователно има 25% прости числа. За първите 10 000 цели числа намираме 1229 прости числа, т.е. има 12.29% прости числа. От първите 1 милион цели числа 7,84% са прости. Първите 100 милиона цели числа съдържат 5,76% прости числа. Когато се отдалечаваме, плътността продължава да намалява, макар че скоростта, с която намалява, става по-малка. Ето графика с размера на търсенето по хоризонталната ос и плътността на простите числа по вертикалната ос. Забележи, че когато се отдалечим, пропорцията на простите числа към всички цели числа се приближава до нула. Изненадващото е, че намираме тази формула в природата. Виждаме я в галактиките, в бурите, в цветята, дори в собствените си тела като дизайн на най-малко съпротивление, познато като "логаритмична спирала". Забележи, че с въртенето на спиралата, тя се отдалечава все повече от центъра. Невероятно, но скоростта на въртене на логаритмичната спирала е свързана с плътността на простите числа по следния начин: имаме броя на завъртанията, да го наречем "фи", и разстоянието от центъра, да го наречем "r". Ако нанесем на графика r към фи и се отдалечим, виждаме, че са свързани по естесвен логаритъм. Това означава, че естественият логаритъм от разстоянието е свързан с броя на завъртанията. Графиката на естествения логаритъм често се изобразява с променливите x и y, като y е равно на естествен логаритъм от x. Забележи, че графиката изтънява по същия начин, по който постепенно намалява гъстотата на простите числа. Последната стъпка е да обърнем това като променим остa y на 1, делено на естествен логаритъм от x. И когато се отдалечим, виждаме същата крива, когато направим графика на гъстотата на простите числа. Да потвърдим това като поставим двете графики една върху друга. В зелено е графиката на y = 1 върху естествен логаритъм от x. В червено е графиката на гъстотата на простите числа до х. Когато се отдалечим, те се доближават една до друга. Колкото повече се отдалечаваме, толкова по-точно става зеленото предположение. Това е известно като асимптотичен закон на разпределение на простите числа. Сега имаме формула, която ни казва точно гъстотата на простите числа без броене. Гъстотата на простите числа до някакво цяло число х е точно 1 върху естествен логаритъм от x или ln x. Да речем, че трябва да знаеш гъстотата на простите числа между 1 и 100 трилиона. Просто. 1 делено на ln 100 трилиона е равно на 3.1%. Да сравним това с резултата, получен от преброяването на всички прости числа, който е 3.2%. Разликата е 0,1%. И колкото по-големи числа проверяваме, толкова повече разликата се доближава до 0. Разбери, че можем да използваме тази формула за гъстота на простите числа, за да изчислим броя на простите числа до х. Броят на простите числа е областта под кривата на гъстотата, която можем да опростим като приемем, че гъстотата е константа. Така че броят на простите числа е равен на размера по гъстотата или х върху ln х. Това е теоремата на простите числа. Това е графика на y = x / ln х в синьо, а в жълто е графиката на действителния брой на простите числа. Забележи, че когато се отдалечаваме, тези прави се припокриват в безкрайността. Това е. Имаме формула, която ни казва точно колко прости числа има до всяка стойност, без да се налага да броим. Например, да кажем, че искаме да разберем какъв е броят на простите числа, по-малки от 100 трилиона. 100 трилиона, делено на естествен логаритъм от 100 трилиона = 3.1 трилиона. Сравняваме това с действителния брой, който е 3.2 трилиона. Точността е над 99.99% дори и при относително малка скала. Така че да обобщим: При даден размер на търсене до някакво цяло число х гъстотата на простите числа е 1 / ln x. А броят на простите числа е около x / ln x. Това е теоремата за простите числа.