Сравнение по модул

Може да видиш израз като:

Това означава, че $A$‍ е тъждествено на $B$‍ разделено модулно на $C$‍.

Ще обсъдим значението на тъждествен модул, като направим един експеримент с обикновения оператор за модулно делене.

Да си представим, че пресмятаме стойността на mod 5 за всички цели числа:

Да речем, че сме означили 5 сектора 0, 1, 2, 3, 4. Тогава поставяме всяко от тези цели числа в един сектор, който отговаря на стойността на числото mod 5.
Мисли за тези сектори като за кутии, които съдържат числа. Например 26 ще отиде в сектора с означение 1, защото $26\text{ mod }5=\mathbf{1}$‍.
По-горе е дадена фигура, която показва някои цели числа, които можем да намерим във всеки от секторите.

Ще бъде полезно да имаме начин да изразим числата, които принадлежат към един и същи сектор. (Забележи, че в горния пример 26 е в същия сектор като 1, 6, 11, 16, 21).

Често срещан начин за изразяване на две стойности, които са в един и същи сектор, е да кажем, че са в един и същи еквивалентен клас.
Това се изразява математически за mod C като: $A\equiv B(\text{mod }C)$‍

Горният израз се произнася като $A$‍ е тъждествено равно на $B$‍ modulo $C$‍.

Да погледнем израза по-отблизо:

Например $26\equiv 11(\text{mod }5)$‍

$26\text{ mod }5=1$‍ значи е в еквивалентния клас за 1,
$11\text{ mod }5=1$‍ значи също е в еквивалентния клас за 1.

Забележи, че това се различава от $A\text{ mod }C$‍: $26\ne 11\text{ mod }5$‍.

Можем да разберем по-добре значението на тъждествения модул, като направим същия експеримент с положително число $C$‍.
Първо ще отбележим $C$‍ сектора $0,1,2,\dots ,C-2,C-1$‍.
След това ще поставим всяко от целите числа в този сектор, който има стойност, равна на числото $\text{mod }C$‍.
По-долу е дадена фигура, която показва стойности, които можем да намерим във всеки от секторите.

Ако погледнем в кутията, означена с 0, ще намерим:

Ако погледнем в кутията, означена с 1, ще намерим:

Ако погледнем в кутията, означена с 2, ще намерим:

Ако погледнем в кутията, означена с $С-1$‍, ще намерим:

От този експеримент можем да направим едно ключово наблюдение:
Стойностите във всеки от секторите са равни на означението на сектора плюс или минус някаквъв множител на $\mathbf{C}$‍.
Това означава, че разликата между всеки две стойности в един сектор е някакъв множител на $\mathbf{C}$‍.
Това наблюдение ни помага да разберем еквивалентните твърдения и след това еквивалентните класове.