Как можем бързо да изчислим A^B mod C, ако В е степен на числото 2?

Използване на правила за модулно умножение:
т.е. A^2 mod C = (A * A) mod C = ((A mod C) * (A mod C)) mod C
Това можем да използваме, за да пресметнем бързо 7^256 mod 13
7^1 mod 13 = 7
7^2 mod 13 = (7^1 *7^1) mod 13 = (7^1 mod 13 * 7^1 mod 13) mod 13
Можем да заменим предишния резултат от 7^1 mod 13 в това уравнение.
7^2 mod 13 = (7 *7) mod 13 = 49 mod 13 = 10
7^2 mod 13 = 10
7^4 mod 13 = (7^2 *7^2) mod 13 = (7^2 mod 13 * 7^2 mod 13) mod 13
Можем да заменим предишния резултат от 7^2 mod 13 в това уравнение.
7^4 mod 13 = (10 * 10) mod 13 = 100 mod 13 = 9
7^4 mod 13 = 9
7^8 mod 13 = (7^4 * 7^4) mod 13 = (7^4 mod 13 * 7^4 mod 13) mod 13
Можем да заменим предишния резултат от 7^3 mod 13 в това уравнение.
7^8 mod 13 = (9 * 9) mod 13 = 81 mod 13 = 3
7^8 mod 13 = 3
Продължаваме по този начин – заменяме предишните резултати в нашите уравнения.
... след 5 повторения, успяхме:
7^256 mod 13 = (7^128 * 7^128) mod 13 = (7^128 mod 13 * 7^128 mod 13) mod 13
7^256 mod 13 = (3 * 3) mod 13 = 9 mod 13 = 9
7^256 mod 13 = 9
Това ни дава метод за бързо изчисляване на A^B mod C при положение, че B е степен на 2.
Освен това ни трябва метод за бързо модулно степенуване, когато В не е степен на 2.

Как можем бързо да изчислим A^B mod C за всяко B ?

Стъпка 1: Раздели В на степен 2, като го запишеш в двоична бройна система

Започни от най-дясната цифра, нека k=0 и завсяка цифра:
  • Ако цифрата е 1, имаме нужда от част от 2^k, ако не, не
  • Прибави 1 към k и премини наляво, към следващата цифра

Стъпка 2: Изчисли mod C на степен от две ≤ B

5^1 mod 19 = 5
5^2 mod 19 = (5^1 * 5^1) mod 19 = (5^1 mod 19 * 5^1 mod 19) mod 19
5^2 mod 19 = (5 * 5) mod 19 = 25 mod 19
5^2 mod 19 = 6
5^4 mod 19 = (5^2 * 5^2) mod 19 = (5^2 mod 19 * 5^2 mod 19) mod 19
5^4 mod 19 = (6 * 6) mod 19 = 36 mod 19
5^4 mod 19 = 17
5^8 mod 19 = (5^4 * 5^4) mod 19 = (5^4 mod 19 * 5^4 mod 19) mod 19
5^8 mod 19 = (17 * 17) mod 19 = 289 mod 19
5^8 mod 19 = 4
5^16 mod 19 = (5^8 * 5^8) mod 19 = (5^8 mod 19 * 5^8 mod 19) mod 19
5^16 mod 19 = (4 * 4) mod 19 = 16 mod 19
5^16 mod 19 = 16
5^32 mod 19 = (5^16 * 5^16) mod 19 = (5^16 mod 19 * 5^16 mod 19) mod 19
5^32 mod 19 = (16 * 16) mod 19 = 256 mod 19
5^32 mod 19 = 9
5^64 mod 19 = (5^32 * 5^32) mod 19 = (5^32 mod 19 * 5^32 mod 19) mod 19
5^64 mod 19 = (9 * 9) mod 19 = 81 mod 19
5^64 mod 19 = 5

Стъпка 3: Използвай свойствата за модулни умножения, за да обединиш пресметнатите стойности на mod C

5^117 mod 19 = ( 5^1 * 5^4 * 5^16 * 5^32 * 5^64) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5^1 mod 19 * 5^4 mod 19 * 5^16 mod 19 * 5^32 mod 19 * 5^64 mod 19) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5 * 17 * 16 * 9 * 5 ) mod 19
5^117 mod 19 = 61200 mod 19 = 1
5^117 mod 19 = 1

Забележка:

Съществуват още повече техники за оптимизация, но са извън целите на тази статия. Забележи, че когато извършваме модулно степенуване в криптографията, не е необичайно да се използват степени за B > 1000 бита.
Зареждане