Въведение в модулната математика

Когато разделяме две цели числа, ще имаме уравнение като следното:
AB=Q остатък R \dfrac{A}{B} = Q \text{ остатък } R
A A е делимо
B B е делител
Q Q е частно
R R е остатък
Понякога ни интересува само остатъкът от делението на A A и B B .
В тези случаи използваме оператор, наречен модулно делене (накратко мод).
Като използваме същите означения A A , B B , Q Q и R R от по-горе, получаваме: A mod B=R A \text{ mod } B = R
Казваме, че A A mod B B е равно на R R . Където B B се означава като модул.
Например:

Демонстриране на модула с часовник

Да разгледаме какво се случва, когато увеличаваме числа с 1 и след това ги делим на 3.
Остатъкът започва от 0 и всеки път се увеличава с 1, докато достигне числото, на което делим. След това последователността се повтаря.
След като забележим това, можем да онагледим оператора за деление по модул с използване на кръгове.
Написваме 0 в горната част на кръга и продължаваме по посока на часовниковата стрелка, като изписваме целите числа 1, 2..., докато не стигнем до числото, с 1 по-малко от модула.
Например един часовник, при който числото 12 е заменено с 0, ще бъде кръг за модулно делене на 12.
За да намерим резултата от A mod B A \text{ mod } B , можем да следваме тези стъпки:
  1. Взимаме часовник с размер B B
  2. Започваме от 0 и се движим по часовника A A стъпки
  3. Там, където спрем, е нашето решение.
(Ако числото е положително, се движим по посока на часовниковата стрелка, ако е отрицателно, се движим в посока, обратна на часовниковата стрелка.)

Примери

8 mod 4=? 8 \text{ mod } 4 = ?

С модул 4 можем да направим часовник с числата 0, 1, 2, 3.
Започваме от 0 и минаваме през 8 числа по посока на часовниковата стрелка в последователността 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0.
Завършваме на 0, така че 8 mod 4=0 8 \text{ mod } 4 = \bf{0} .

7 mod 2=? 7 \text{ mod } 2 = ?

При модул 2 взимаме часовник с числата 0 и 1.
Започваме от 0 и минаваме през 7 числа по посока на часовниковата стрелка в последователността 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Завършихме на 1, така че 7 mod 2=1 7 \text{ mod } 2 = \bf{1} .

5 mod 3=? -5 \text{ mod } 3 = ?

За модул 3 правим часовник с числата 0, 1, 2.
Започваме от 0 и минаваме през 5 числа в посока обратна на часовниковата стрелка в последователността (5 е отрицателно) 2, 1, 0, 2, 1.
Завършваме на 1, така че 5 mod 3=1 -5 \text{ mod } 3 = \bf{1} .

Заключение

Ако имаме A mod B A \text{ mod } B  и увеличим A A с множител на B \bf{B} , ще завършим на същото място, т.е.
A mod B=(A+KB) mod B A \text{ mod } B = (A + K \cdot B) \text{ mod } B  за всяко цяло число K \bf{K} .
Например:

Бележки към читателя

mod в езиците за програмиране и в калкулаторите

В много от езиците за програмиране има оператор за делене с остатък, който обикновено е представен със знака %. Ако изчисляваш резултата за отрицателно число, в някои езици ще получиш отрицателен резултат.
Например:
-5 % 3 = -2.

Тъждествен модул

Може да видиш израз като:
AB (mod C) A \equiv B\ (\text{mod } C)
Това означава, че A A е тъждествено равно на B B modulo C C . Прилича на изразите, които използвахме тук, но не е съвсем същото.
В следващата статия ще обясним какво означава и как е свързано с изразите по-горе.
Зареждане