Основно съдържание

Курс: Компютрите и интернет > Раздел 1

Урок 2: Двоични числа

Двоични числа

📺 Ако предпочиташ да научиш за двоичните числа от видео урок, просто прескочи тази статия и премини към клиповете.

Ние, хората, обикновено представяме числата в десетична бройна система. Да преброиш до десет е толкова просто:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Както вече научихме, компютрите представят всяка информация в битове. За да представят числата само с

0

1

, компютрите използват двоична бройна система. Ето как компютър брои до десет:

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

Да си припомним: Десетични числа

Преди да се запознаем с това как работи двоичната бройна система, нека си припомним стария си приятел – десетичната. Докато се учиш да броиш, се научаваш, че най-дясната цифра е тази на "единиците", следващата е на "десетиците", следващата на "стотиците" и т.н.

Казано по друг начин, най-дясната цифра се умножава по

1

, следващата цифра отляво се умножава по

10

, а цифрата на две места наляво се умножава по

100

Представи си числото

234

$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
стотици	десетици	единици
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍

Ако умножим всяка цифра по нейния порядък, ще видим, че

234

е равно на

(2 \cdot 100) + (3 \cdot 10) + (4 \cdot 1)

Можем да мислим за тези позиции и като за степените на десет. Единиците представят умножение по

10^{0}

, десетиците представят умножение по

10^{1}

, а стотиците представят умножение по

10^{2}

. С всяка следваща позиция умножаваме цифрата на тази позиция със следващата степен на

10

2	3	4
стотици	десетици	единици
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍
$10^{2}$ ‍	$10^{1}$ ‍	$10^{0}$ ‍

Двоични числа

Двоичната бройна система работи по същия начин като десетичната. Единствената разлика е, че вместо да умножаваме цифрата по степен на

10

, я умножаваме по степен на $2$ ‍.

Да разгледаме десетичното число

1

, представено в двоичен вид като

0001

$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Това е същото като

(0 \cdot 8) + (0 \cdot 4) + (0 \cdot 2) + (1 \cdot 1)

, или

0 + 0 + 0 + 1

Добре, вероятно можеше да се досетиш за това — сега да опитаме с по-голямо число!

Десетичното число

10

се представя в двоичен вид като

1010

$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Това е същото като

(1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1)

, или

8 + 0 + 2 + 0

. Наистина, двоичното

1010

е равно на десетичното

10

Сега опитай ти: Как ще представиш десетичното число

6

в двоичен вид?

Поздравления, ако успя да го решиш! Ако ли пък не, това е съвсем нормално – има техники, които ще ти помогнат да превръщаш числа между различни бройни системи и ще ти е много по-лесно, когато ги научиш.

Превръщане на десетични числа в двоични

Ето го моя любим начин за превръщане на десетични числа към двоични:

Вземи лист хартия или бяла дъска.
Начертай тирета за всеки бит. Ако числото е по-малко от $16$ ‍, начертай $4$ ‍ тирета. Иначе, за числа до $255$ ‍ начертай $8$ ‍ тирета. За по-големи числа са необходими повече битове и отнемат повече време за изчисляване на ръка, така че нека се съсредоточим върху по-малките числа.
Запиши степените на $2$ ‍ под всяко тире. Започни под най-дясното тире, записвайки $1$ ‍, след това продължи да умножаваш по $2$ ‍.
Сега започни от най-лявото тире и си задай въпроса "Числото по-голямо ли е от тази степен на двойката?" Ако отговорът ти е "да", запиши 1 на това тире и извади тази степен на двойката от числото. Ако отговорът е "не", запиши 0 и продължи към следващото тире.
Продължи нататък от ляво надясно, като следиш какъв остатък ти остава да представиш. Когато приключиш, числото ще е превърнато в двоично!

Ето как изглежда това за десетичното число

6

"Хммм, 6 е по-малко от 16, така че 4 бита са достатъчни..."

\frac{}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Така, 6 е по-малко от 8, така че ще напиша 0 в началото..."

\frac{0}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"6 е по-голямо от 4, така че след това ще напиша 1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Добре, 6 - 4 = 2, така че все още ми остава да представя 2. Нека си го отбележа..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

(Остатък: 2)

"2 е равно на 2, така че след това ще напиша 1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

"2 - 2 = 0, така че не ми остава нищо повече за представяне!"

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

(Остатък: 0)

"Ще попълня 0 в последния бит, тъй като вече е готово..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{0}{1}

В случай че се чудиш – има само един начин да се представи всяко едно число в двоичен вид, точно както има само един начин да се представи всяко едно число в десетичен вид. Всяка техника, която използваш за преобразуване на десетично в двоично число, трябва да доведе до същото число.

Сега опитай още едно преобразуване, като използваш същата техника самостоятелно.

Как ще представиш десетичното число

11

в двоичен вид?

Нека опитаме нещо по-голямо. Как ще представиш десетичното число

25

в двоичен вид?

Модели в двоичните числа

В последните два въпроса преобразува нечетни числа. Има нещо интересно, свързано с нечетните числа в двоичен вид. Ето още няколко нечетни двоични числа, за да добиеш представа:

Десетично	Двоично
$3$ ‍	$0011$ ‍
$5$ ‍	$0101$ ‍
$7$ ‍	$0111$ ‍
$9$ ‍	$1001$ ‍

Виждаш ли модела?

Провери наученото

Ако мислиш, че ти е станало ясно, опитай с този въпрос: кое от следните много големи двоични числа е нечетно?

Всъщност не ти трябва да преобразуваш тези големи числа в десетичен вид, за да отговориш на въпроса – трябва да погледнеш само един бит информация – последния бит. Последният бит са винаги единиците и ако дадено число е нечетно, то трябва да има

1

на мястото на единиците. Няма как да се получи нечетно число в двоичната система, без единиците, тъй като всяка друга позиция е степен на двойката. Това знание ще ти даде по-добро интуитивно разбиране за двоичните числа.

Има още един интересен модел в двоичните числа. Погледни тези:

Десетично	Двоично
$3$ ‍	$11$ ‍
$7$ ‍	$111$ ‍
$15$ ‍	$1111$ ‍

Всяко от десетичните числа е степен на

2

, минус

1

4 - 1 = 3

8 - 1 = 7

16 - 1 = 15

. Когато двоично число има

1

на всяка от позициите си, то винаги е равно на най-голямото число, което може да се представи с този брой битове. Ако искаш да добавиш

1

към това число, ще трябва да добавиш още един бит. Това е същото, като

9

99

999

в десетичната бройна система.

Оказва се, че най-голямото число, което може да се представи с

n

бита е същото, като

2^{n} - 1

Битове ( $n$ ‍)	Най-голямо число	( $2^{n} - 1$ ‍)
1	$1$ ‍	$(2^{1} - 1)$ ‍
2	$3$ ‍	$(2^{2} - 1)$ ‍
3	$7$ ‍	$(2^{3} - 1)$ ‍
4	$15$ ‍	$(2^{4} - 1)$ ‍

Как мислиш,

11111

какво представя в десетичен вид?

Можеш да го изчислиш сравнително бързо, използвайки нашата стратегия от преди малко. Само че има още една стратегия, ако имаш предвид това, което научихме току-що: можеш да преброиш броя на битовете (

5

), да изчислиш

2^{5}

като

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

и след това да извадиш

1

Всичко това е, за да ти помогнем да добиеш по-интуитивно разбиране за двоичната система. Може да не запомниш всичко – няма проблем. Предстоят ни много упражнения, за да затвърдиш уменията си.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Имаш ли въпроси по темата? Ще се радваме да ти отговорим, просто задай въпросите си по-долу!

Ако не виждаш въпросите по-долу, или използваш мобилното приложение, или четеш тази статия в изскачащ прозорец. Ако използваш мобилното приложение, отвори статията в някакъв браузър. Ако си в изскачащ прозорец, щракни върху заглавието на статията отгоре.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.