Шестнайсетични числа

Двоичните числа са чудесен начин компютрите да представят числа. Обаче не са толкова удобни за хората – толкова са дълги, че отнема известно време, за да се преброят всички $0$‍-и и $1$‍-ци. Когато компютърните инженери боравят с числа, те често използват или десетичната или шестнадесетичната бройна система. Да, още една бройна система!

За щастие, бройните системи имат повече прилики, отколкото разлики и сега, когато знаеш чудесно десетичната и двоичната, надяваме се, че шестнадесетичната ще ти е интуитивна.

В десетичната система всяка цифра представя степен на $10$‍ – единиците, десетиците и т.н. Наричаме $10$‍ основата на десетичната бройна система.

В шестнадесетичната бройна система всяка цифра представя степен на $16$‍.

Ето как се брои до 10 шестнадесетично: $1$‍, $2$‍, $3$‍, $4$‍, $5$‍, $6$‍, $7$‍, $8$‍, $9$‍, $\text{A}$‍.

Това изглежда доста познато, докато не стигнем последното "число" $\text{A}$‍. Знаеш ли, в шестнадесетичната система всяка цифра трябва да представя стойностите $0$‍-$15$‍, но десетичните числа $10$‍-$15$‍ не се побират в една цифра. За да се справи с този проблем, шестнадесетичната система използва буквите $\text{A}$‍-$\text{F}$‍, за да представи числата $10$‍-$15$‍.

Така, нека броим от 10 до 15: $\text{A}$‍, $\text{B}$‍, $\text{C}$‍, $\text{D}$‍, $\text{E}$‍, $\text{F}$‍. Странно, но вярно!

Всъщност през годините е имало множество различни предложения за това как да се представят стойностите 10-15, но $\text{A}$‍-$\text{F}$‍ е решението, което е спечелило.

А сега да преброим по-нагоре. Това е десетичното число $24$‍, представено в шестнадесетичен вид $18$‍:

Това число изисква две цифри, като дясната цифра представя единиците (${16}^0$‍), а лявата цифра представя шестнадесетиците (${16}^1$‍). Също както сумирахме десетични и двоични числа, можем да сумираме и $(1\cdot 16)+(8\cdot 1)$‍ и да видим, че $18$‍ е равно на десетичната стойност $24$‍.

Да опитаме число, което съдържа буква. Ето го десетичното число $27$‍, представено в шестнадесетичен вид като $1\text{B}$‍:

За да разберем този пример, първо трябва да си спомним, че $\text{B}$‍ представя стойността $11$‍. Аз го правя, като броя буквите на пръсти, но ти можеш да го правиш както ти е удобно, стига да запомниш, че трябва да започнеш от $\text{A}$‍, представящо $10$‍.

След това сумираме както по-рано и виждаме, че $(1\cdot 16)+(11\cdot 1)$‍ е равно на десетичната стойност $27$‍.

На този етап може би се чудиш какво толкова ѝ харесват на шестнадесетичната система компютърните инженери. Защо да използваме система, в която са ни нужни букви, за да представяме числа? Малко историческо отклонение ще ни покаже защо...

Ранните компютри използвали 4-битови архитектури, което означава, че те винаги са обработвали битовете в групи по 4. Това е причината все още да записваме битовете в групи по 4, както когато пишем $0111$‍, за да представим десетичното $7$‍, въпреки че можем да напишем само $111$‍.

Колко стойности могат да представят 4 бита? Най-малката стойност е $0$‍ (само нули – $0000$‍), а най-голямата стойност е $15$‍ (само единици – $1111$‍), така че 4 бита могат да представят 16 уникални стойности. Аха, ето го числото 16!

Всяка група от 4 бита двоично е една цифра в шестнадесетичната система. Това прави много лесно превръщането на двоични числа в шестнадесетични числа и ги прави естествени за използване и в компютрите.

Нека докажем колко добре се разбират двоичните и шестнадесетичните числа, като превръщаме от двоични в шестнадесетични.

Ще започнем с късо двоично число:

То е дълго 4 бита, което означава, че отговаря на една шестнадесетична цифра. Има $0$‍ на всяка позиция, с изключение на позицията на двойките, следователно е равно на десетичното число $2$‍. И десетичната, и шестнадесетичната системи представят числата $0$‍-$9$‍ по един и същ начин, така че $0010$‍ е просто $2$‍ в шестнадесетичен запис.

Да опитаме с по-дълго двоично число:

Един подход би бил да разберем какво десетично число е представено от този дълъг низ от нули и единици и след това да превърнем него в шестнадесетично. Този подход ще свърши работа, но, човече, звучи като много работа за такова число.

По-лесният подход е да превръщаме всяка група от по 4 бита наведнъж.

Започвайки с най-лявата група $1001$‍, която е равна на $(1\cdot 8)+(1\cdot 1)$‍, десетичното число $9$‍. Това число е по-малко от $10$‍, така че $1001$‍ е просто $9$‍ шестнадесетично.

Следващата група е $1010$‍, или $(1\cdot 8)+(1\cdot 2)$‍, десетичната стойност $10$‍. Това число изисква буквено представяне в шестнадесетичен вид – $\text{A}$‍.

Следващата група е $0110$‍, или $(1\cdot 4)+(1\cdot 2)$‍, десетичната стойност $6$‍. Това число е същото в шестнадесетичен вид – $6$‍.

Последната група е $1100$‍, или $(1\cdot 8)+(1\cdot 4)$‍, деесетичната стойност $12$‍. Tова число изисква буквено представяне в шестнадесетичен вид – $\text{C}$‍.

Крайният ни шестнадесетичен резултат е $9\text{A}6\text{C}$‍. Направихме това преобразуване без да знаем кое десетично число е представено. Сега ще разкрия и двете $1001101001101100$‍ и $9\text{A}6\text{C}$‍ са равни на десетичното число $39532$‍. Това е ужасно голямо число – радвам се, че го превърнахме цифра по цифра.

Хайде да придобием малко интуиция за шестнадесетичната бройна система.

Първо: какво е най-голямото число за даден брой цифри? В десетичната система това са само деветки, като $9999$‍. В двоичната система това са само единици, като $1111$‍.

В този случай в шестнадесетичната система всяка цифра е $\text{F}$‍ – $\text{FFFF}$‍. Когато видим такова число знаем, че то представя най-голямата възможна стойност за този брой цифри. За да представим което и да било по-голямо число, ще ни трябват повече цифри.

Добре, колко представя голямо число като това? Можем да използваме същото правило, както при двоичната система – най-голямото число, което може да се представи с даден брой цифри $n$‍, е същото, като ${16}^n-1$‍. Сега, след като работим с основа 16, вместо основа 2, може да ни се наложи да използваме калкулатор, за да се справим.

Тук имаме таблица с първите 4 големи стойности:

В този раздел за принципите на работа на компютрите ще се занимаваме предимно с двоични числа. Важно е обаче да разбираш и шестнадесетичните, тъй като те ще се появяват в следващите раздели, а и като цяло в ежедневието на програмистите.

Един пример от моя опит – разработчиците на сайтове използват шестнадесетични числа, за да представят цветовете. Описваме цветовете като комбинация от три съставки: червено, зелено и синьо. Всяка от тези съставки може да се променя между $0$‍ и $255$‍. Синият цвят може да се запише така rgb(0, 0, 255) или с по-съкратената шестнадесетична версия, #0000FF. Използвайки тази нотация, можем да опишем ${16}^6$‍ уникални цвята — повече от 16 милиона цвята!

Сега, след като се запозна с шестнадесетичните числа, отваряй си очите за тях. Често ще ги виждаш записани с 0x пред тях, като 0x4F или можеш да разпознаеш отличителната им смесица от 0-9 с A-F. Ако забележиш интересно тяхно приложение в ежедневието, сподели откритието си по-долу в секцията "Съвети и благодарности".

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Имаш ли въпроси по темата? Ще се радваме да ти отговорим, просто задай въпросите си по-долу!