Шестнайсетични числа

Двоичните числа са чудесен начин компютрите да представят числа. Обаче не са толкова удобни за хората – толкова са дълги, че отнема известно време, за да се преброят всички $0$0-и и $1$1-ци. Когато компютърните инженери боравят с числа, те често използват или десетичната или шестнадесетичната бройна система. Да, още една бройна система!

За щастие, бройните системи имат повече прилики, отколкото разлики и сега, когато знаеш чудесно десетичната и двоичната, надяваме се, че шестнадесетичната ще ти е интуитивна.

В десетичната система всяка цифра представя степен на $10$10 – единиците, десетиците и т.н. Наричаме $10$10 основата на десетичната бройна система.

В шестнадесетичната бройна система всяка цифра представя степен на $16$16.

Ето как се брои до 10 шестнадесетично: $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $5$5, $6$6, $7$7, $8$8, $9$9, $\text{A}$start text, A, end text.

Това изглежда доста познато, докато не стигнем последното "число" $\text{A}$start text, A, end text. Знаеш ли, в шестнадесетичната система всяка цифра трябва да представя стойностите $0$0-$15$15, но десетичните числа $10$10-$15$15 не се побират в една цифра. За да се справи с този проблем, шестнадесетичната система използва буквите $\text{A}$start text, A, end text-$\text{F}$start text, F, end text, за да представи числата $10$10-$15$15.

Така, нека броим от 10 до 15: $\text{A}$start text, A, end text, $\text{B}$start text, B, end text, $\text{C}$start text, C, end text, $\text{D}$start text, D, end text, $\text{E}$start text, E, end text, $\text{F}$start text, F, end text. Странно, но вярно!

Всъщност през годините е имало множество различни предложения за това как да се представят стойностите 10-15, но $\text{A}$start text, A, end text-$\text{F}$start text, F, end text е решението, което е спечелило.

А сега да преброим по-нагоре. Това е десетичното число $24$24, представено в шестнадесетичен вид $18$18:

Това число изисква две цифри, като дясната цифра представя единиците ($16^0$16, start superscript, 0, end superscript), а лявата цифра представя шестнадесетиците ($16^1$16, start superscript, 1, end superscript). Също както сумирахме десетични и двоични числа, можем да сумираме и $(1 \cdot 16) + (8 \cdot 1)$left parenthesis, 1, dot, 16, right parenthesis, plus, left parenthesis, 8, dot, 1, right parenthesis и да видим, че $18$18 е равно на десетичната стойност $24$24.

Да опитаме число, което съдържа буква. Ето го десетичното число $27$27, представено в шестнадесетичен вид като $1\text{B}$1, start text, B, end text:

За да разберем този пример, първо трябва да си спомним, че $\text{B}$start text, B, end text представя стойността $11$11. Аз го правя, като броя буквите на пръсти, но ти можеш да го правиш както ти е удобно, стига да запомниш, че трябва да започнеш от $\text{A}$start text, A, end text, представящо $10$10.

След това сумираме както по-рано и виждаме, че $(1 \cdot 16) + (11 \cdot 1)$left parenthesis, 1, dot, 16, right parenthesis, plus, left parenthesis, 11, dot, 1, right parenthesis е равно на десетичната стойност $27$27.

На този етап може би се чудиш какво толкова ѝ харесват на шестнадесетичната система компютърните инженери. Защо да използваме система, в която са ни нужни букви, за да представяме числа? Малко историческо отклонение ще ни покаже защо...

Ранните компютри използвали 4-битови архитектури, което означава, че те винаги са обработвали битовете в групи по 4. Това е причината все още да записваме битовете в групи по 4, както когато пишем $0111$0111, за да представим десетичното $7$7, въпреки че можем да напишем само $111$111.

Колко стойности могат да представят 4 бита? Най-малката стойност е $0$0 (само нули – $0000$0000), а най-голямата стойност е $15$15 (само единици – $1111$1111), така че 4 бита могат да представят 16 уникални стойности. Аха, ето го числото 16!

Всяка група от 4 бита двоично е една цифра в шестнадесетичната система. Това прави много лесно превръщането на двоични числа в шестнадесетични числа и ги прави естествени за използване и в компютрите.

Нека докажем колко добре се разбират двоичните и шестнадесетичните числа, като превръщаме от двоични в шестнадесетични.

Ще започнем с късо двоично число:

То е дълго 4 бита, което означава, че отговаря на една шестнадесетична цифра. Има $0$0 на всяка позиция, с изключение на позицията на двойките, следователно е равно на десетичното число $2$2. И десетичната, и шестнадесетичната системи представят числата $0$0-$9$9 по един и същ начин, така че $0010$0010 е просто $2$2 в шестнадесетичен запис.

Да опитаме с по-дълго двоично число:

Един подход би бил да разберем какво десетично число е представено от този дълъг низ от нули и единици и след това да превърнем него в шестнадесетично. Този подход ще свърши работа, но, човече, звучи като много работа за такова число.

По-лесният подход е да превръщаме всяка група от по 4 бита наведнъж.

Започвайки с най-лявата група $1001$1001, която е равна на $(1 \cdot 8) + (1 \cdot 1)$left parenthesis, 1, dot, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, dot, 1, right parenthesis, десетичното число $9$9. Това число е по-малко от $10$10, така че $1001$1001 е просто $9$9 шестнадесетично.

Следващата група е $1010$1010, или $(1 \cdot 8) + (1 \cdot 2)$left parenthesis, 1, dot, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, dot, 2, right parenthesis, десетичната стойност $10$10. Това число изисква буквено представяне в шестнадесетичен вид – $\text{A}$start text, A, end text.

Следващата група е $0110$0110, или $(1 \cdot 4) + (1 \cdot 2)$left parenthesis, 1, dot, 4, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, dot, 2, right parenthesis, десетичната стойност $6$6. Това число е същото в шестнадесетичен вид – $6$6.

Последната група е $1100$1100, или $(1 \cdot 8) + (1 \cdot 4)$left parenthesis, 1, dot, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, dot, 4, right parenthesis, деесетичната стойност $12$12. Tова число изисква буквено представяне в шестнадесетичен вид – $\text{C}$start text, C, end text.

Крайният ни шестнадесетичен резултат е $9\text{A}6\text{C}$9, start text, A, end text, 6, start text, C, end text. Направихме това преобразуване без да знаем кое десетично число е представено. Сега ще разкрия и двете $1001\,1010 \,0110\,1100$1001101001101100 и $9\text{A}6\text{C}$9, start text, A, end text, 6, start text, C, end text са равни на десетичното число $39{~}532$39, space, 532. Това е ужасно голямо число – радвам се, че го превърнахме цифра по цифра.

Хайде да придобием малко интуиция за шестнадесетичната бройна система.

Първо: какво е най-голямото число за даден брой цифри? В десетичната система това са само деветки, като $9999$9999. В двоичната система това са само единици, като $1111$1111.

В този случай в шестнадесетичната система всяка цифра е $\text{F}$start text, F, end text – $\text{FFFF}$start text, F, F, F, F, end text. Когато видим такова число знаем, че то представя най-голямата възможна стойност за този брой цифри. За да представим което и да било по-голямо число, ще ни трябват повече цифри.

Добре, колко представя голямо число като това? Можем да използваме същото правило, както при двоичната система – най-голямото число, което може да се представи с даден брой цифри $n$n, е същото, като $16^n - 1$16, start superscript, n, end superscript, minus, 1. Сега, след като работим с основа 16, вместо основа 2, може да ни се наложи да използваме калкулатор, за да се справим.

Тук имаме таблица с първите 4 големи стойности:

В този раздел за принципите на работа на компютрите ще се занимаваме предимно с двоични числа. Важно е обаче да разбираш и шестнадесетичните, тъй като те ще се появяват в следващите раздели, а и като цяло в ежедневието на програмистите.

Един пример от моя опит – разработчиците на сайтове използват шестнадесетични числа, за да представят цветовете. Описваме цветовете като комбинация от три съставки: червено, зелено и синьо. Всяка от тези съставки може да се променя между $0$0 и $255$255. Синият цвят може да се запише така rgb(0, 0, 255) или с по-съкратената шестнадесетична версия, #0000FF. Използвайки тази нотация, можем да опишем $16^6$16, start superscript, 6, end superscript уникални цвята — повече от 16 милиона цвята!

Сега, след като се запозна с шестнадесетичните числа, отваряй си очите за тях. Често ще ги виждаш записани с 0x пред тях, като 0x4F или можеш да разпознаеш отличителната им смесица от 0-9 с A-F. Ако забележиш интересно тяхно приложение в ежедневието, сподели откритието си по-долу в секцията "Съвети и благодарности".

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Имаш ли въпроси по темата? Ще се радваме да ти отговорим, просто задай въпросите си по-долу!