Ограничения на числовите данни, препълване и закръгляване

Когато компютърните програми записват числа в променливи, компютърът трябва да намери начин да представи тези числа в компютърната памет. Компютрите използват различни стратегии в зависимост от това дали числото е цяло или не. Поради ограниченията на компютърната памет, понякога програмите се сблъскват с проблеми като закръгляване, препълване или точност на числовите променливи.

Цяло число е всяко число, което може да бъде записано без дробна част. Един и същ термин се използва както в програмирането, така и в математиката, така че се надяваме да ти е познат.

Всички тези числа са цели: $120$120, $10$10, $0$0, $-20$minus, 20.

Как език за програмиране може да представи тези цели числа в компютърната памет? Компютрите представят всички данни като битове, така че знаем, че всяко от тези числа, в крайна сметка, е последователност от нули и единици.

За да започнем с нещо просто, представи си компютър, който използва само 4 бита, за да представя цели числа. Може използва първия бит, за да представи знака на цялото число, положителен или отрицателен, а останалите 3 бита - за абсолютната стойност.

В тази система числото едно ще бъде представено по следния начин:

$0$0 в знаковия бит представя положително число, а $1$1 в най-десния бит представя $2^0$2, start superscript, 0, end superscript ($1$1) място за стойността.

Кое е най-голямото число, което може да представи тази система? Нека попълним всички значещи битове и да проверим:

Това е положителното число $7$7, тъй като $2^2 + 2^1 + 2^0 = (4 + 2 + 1) = 7$2, squared, plus, 2, start superscript, 1, end superscript, plus, 2, start superscript, 0, end superscript, equals, left parenthesis, 4, plus, 2, plus, 1, right parenthesis, equals, 7.

Какво ще се случи, ако изпълним програма като тази на 4-битов компютър, в който най-голямото положително число е 7?

Компютърът може да запише променливата x без проблем, но y е с 1 повече от най-голямото цяло число, което може да се представи с 4 бита. В случаи като този, компютърът може да изведе "грешка от препълване" или да покаже съобщение като "числото е твърде голямо". Може и да изреже резултата (ограничавайки отгоре всички резултати до 7) или да превърти числото (така че 8 става 1).

Не искаме да попаднем в нито една от тези ситуации, така че е важно да знаем ограниченията на нашия език и среда, когато пишем програми.

За щастие най-модерните компютри използват 64-битови архитектури, които могат да съхраняват невъобразимо големи числа. В JavaScript най-голямото сигурно цяло число е 9 007 199 254 740 992, равностойно на $2^{53} - 1$2, start superscript, 53, end superscript, minus, 1. Отвъд него сме в опасната зона.

✏️ Позабавлявай се в опасната зона по-долу! JavaScript не изписва грешки от препълване, но прави други странни неща.

📝 Виж подобен код в: App Lab | Snap | Python

Видяхме, че има ограничения при записването на цели числа в компютър. Числата, които не са цели, като дробите и ирационалните числа, са още по сложни за представяне в компютърната памет.

Разгледай числа като $2/5$2, slash, 5, $1{,}234$1, comma, 234, $9{,}999999$9, comma, 999999, или известното безкрайно $\pi$pi.

Обикновено компютърните езици използват представяне на плаваща запетая за дробни числа (а понякога и за цели числа). Сходно е с "експоненциален запис" – представяне, което може да ти е познато от други обучения.

В представянето чрез плаваща запетая числото се умножава с основа, която е повдигната на степен.

Тъй като компютрите използват двоична вместо десетична система, основата за числа с плаваща запетая е $2$2 вместо $10$10. Поради това числата, които са точна степен на $2$2, са най-прости за представяне:

Числата между степените на двойката изглеждат така:

А дробните числа? Отново степените на $2$2 са най-лесни за представяне.

С плаваща запетая могат да се представят и дроби между степени на 2:

След като компютърът определи представянето с плаваща запетая за дадено число, той го записва в битове. Модерните компютри използват 64-битова система, която използва 1 бит за знака, 11 бита за порядъка и 52 бита за числото отпред.

Тук имаме $0{,}375$0, comma, 375, представено в двоичен вид с плаваща запетая:

Точното превръщане в битове е по-сложно отколкото можем да разгледаме тук, но е чудесна тема за теб, ако искаш да навлезеш повече в тази тема.

Все пак, представянето с плаваща запетая все още не може да представи всички числа. Разгледай дробното число $1/3$1, slash, 3 и неговото представяне с плаваща запетая:

В двоичен вид, ${,}\overline{3}$comma, start overline, 3, end overline е все така безкрайно повтаряща се последователност:

Не можем да записваме безкрайни последователности в компютър! В един момент компютърът трябва по някакъв начин да завърши числото – или като го отреже, или като го закръгли до най-близкото число с плаваща запетая. Компютрите трябва да правят това сравнително често, тъй като дори дроби като $1/10$1, slash, 10 (която е краткото $0{,}1$0, comma, 1 в десетичен вид) са безкрайно повтарящи се последователности, когато са превърнати в двоичен вид.

Често не забелязваме ниската точност на представянето на дадено число, докато не го използваме в операция по пресмятане. Тогава може да ни се случи грешка от закръгляване в резултатите.

✏️ Това е програма, която се опитва да събере $0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1$0, comma, 1, plus, 0, comma, 1, plus, 0, comma, 1. В некомпютърния свят знаем, че резултатът е $0{,}3$0, comma, 3. Но в компютъра всяка от стойностите $0{,}1$0, comma, 1 е записана като закръглена двоична дроб и когато ги съберем, те не дават точно това, което очакваме като резултат…

📝 Виж подобен код в: App Lab | Snap | Python

Колкото повече битове можем да използваме, толкова по-точни ще са числата и пресмятанията ни. Модерните 64-битови системи предлагат достатъчно висока точност за некритични пресмятания.

Възможно е в даден момент и ти да създаваш програма, която да изчислява резултати от избори, да управлява автомономни автомобили или дори да изстрелва ракети. Когато изчисленията са критични, точността е от значение.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Имаш ли въпроси по темата? Ще се радваме да ти отговорим, просто задай въпросите си по-долу!