If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:11:10

Видео транскрипция

В това видео ще започнем да добиваме някакъв опит при решаване на ирационални уравнения или уравнения, които включват квадратни корени или може би дори корени с по-високи степени, но също така ще опитаме да разберем едно интересно явление, при решаването на тези уравнения. Нека да покажа за какво говоря. Нека кажем, че имам уравнението корен квадратен от x е равно на 2х – 6. Нещото, което ще виждаш всеки път при решаване на тези уравнения, е, че искаме да отделим от едната страна поне един от радикалите. В това уравнение има само един радикал. За да го отделим от едната страна на уравнението, започваме по следния начин: За да отделим корен квадратен от х от лявата страна, повдигаме на квадрат и двете страни на уравнението. Нека да повдигнем на квадрат и двете страни на уравнението. Просто ще го напиша отново. Ще направим този пример бавно. Ще повдигна на квадрат това и ще бъде равно на (2х – 6) на квадрат. Повдигането на квадрат изглежда като логична операция. Ако това е равно на това, тогава това на квадрат трябва също да е равно на това на квадрат. Продължаваме нататък. Когато вземеш квадратния корен от х и го повдигнеш на квадрат, това ще бъде просто x. И получаваме x е равно на – това на квадрат ще бъде (2x)^2, което е 4x^2. То е (2x) на квадрат, цялото. 4x^2 и след това умножаваме тези двете, което е –12х. И след това ще бъде два пъти това, така че – 24x. И тогава –6 на квадрат е плюс 36. Ако ти е трудно да получиш това от това, прегледай отново умножаването на многочлени или умножаването на двучлени, или специалният случай, където повдигахме двучлени на квадрат. В общи линии е това на квадрат, което е това. И след това имаме –2, умножено по произведението на тези двете. Произведението от тези двете е –12x или 12x със знак минус. 2 по това е –24х и после това на квадрат. Можем да кажем, че нашето уравнение се опростява до това и да видим какво ще стане, ако извадим x от двете страни на това уравнение. Ако извадим x от двете страни на това уравнение, лявата страна става нула, а дясната страна става 4x^2 – 25x + 36. Това ирационално уравнение е опростено до едно стандартно квадратно уравнение. И за да не се притесняваш как да го разлагаш и групираш и всичко това, нека просто да използваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Тя ни казва, че решенията на това уравнение, x може да бъдат –b... Отрицателното на –25 е плюс 25, плюс или минус квадратния корен от 25 на квадрат. 25 на квадрат е 625, минус 4 по а, което е 4, по c, което е 36, всичкото това върху 2 по 4, т.е. върху 8. Да извадим нашия калкулатор, за да намерим колко е това. Нека да извадим нашия калкулатор. Тук имаме 625 минус, да видим, това ще бъде 16 по 36. 16 по 36 е равно на 49. Това е хубаво. Това е хубав пълен квадрат. Знаем колко е корен квадратен от 49. Той е 7. Нека да се върна отново към задачата. И така, това тук е опростено до 49. х е равно на 25 плюс или минус квадратния корен от 49, което е 7, всичкото това върху 8. Нашите две решения тук, ако прибавим 7, получаваме x е равно на 25 плюс 7 е 32, 32/8, което е равно на 4. И след това нашето друго решение, нека го направя в различен цвят. x е равно на 25 минус 7, което е 18/8. 8 се съдържа в 18 два пъти, остатък 2, така че това е равно на 2 и 2/8 или 2 и 1/4, или 2,25. Сега ще ти покажа интересния феномен, който се случва. И може би ще искаш да спреш на пауза, след като ти покажа тази главоблъсканица, въпреки че аз ще ти кажа защо тя се появява. Нека да проверим дали нашите решения действително отговарят. Нека проверим х = 4. Ако x = 4 отговаря, получаваме, че корен от 4 трябва да е равно на 2 по 4 минус 6. Положителният корен от 4 е плюс 2. Плюс 2 трябва да бъде равно на 2 по 4, което е 8, минус 6, което е вярно. Това е вярно. Така че 4 отговаря. Сега нека направим същото и с 2,25. Би трябвало да намерим квадратен корен от 2,25. Нека направя знака за корен малко по-голям. Корен от 2,25 трябва да е равен на 2 по 2,25 минус 6. Може да си в състояние или да не можеш да направиш това наум. Може би знаеш, че корен квадратен от 225 е 15. От това може да успееш да намериш, че квадратния корен от 2,25 е 1,5. Нека просто използвам калкулатора, за да потвърдя това. Квадратен корен от 2,25 е 1,5. Положителният квадратен корен е 1,5. Другият корен квадратен е –1,5. Така че е 1,5. Значи това трябва да е равно на 2 по 2,25, което е 4,5, минус 6. Изпълнено ли е равенството? Това ни казва, че 1,5 е равно на –1,5. Това не е вярно. 2,5 не е отговор на това ирационално уравнение. Наричаме това странично решение. Така че 2,25 е странично решение. Сега, ето я загадката: Защо получихме 2,25 като отговор? Направихме логични неща по целият път надолу, получихме квадратно уравнение и получихме 2,25. И ето я тук подсказката. Когато заместваме 2,25, получаваме 1,5 е равно на минус 1,5. Така че тук има нещо, което ни даде това решение, което не отговаря съвсем. И ще ти дам друга подсказка. Нека да пробваме в тази стъпка. Ако погледнеш тази стъпка, ще видиш, че и двете решения всъщност отговарят. Можеш да провериш това, ако искаш. Опитай го самостоятелно на спокойствие. Замести тук х с 2,25. Ще видиш, че това отговаря. Замести х с 4 и ще видиш, че те и двете са подходящи тук. И двете са валидни решения на това. Нещо се случи, когато повдигнахме на квадрат и това направи уравнението малко по-различно. Има нещо малко по-различно в това уравнение в сравнение с това уравнение. Има два начина, по които можеш да помислиш върху това. Да се върнем назад от това уравнение до това уравнение, вземаме квадратния корен. Но, за да бъдем по-точни, ние намираме положителния корен от двете страни. Можеш да вземеш също така и отрицателния квадратен корен. Забележи, тук вземаме само положителния квадратен корен. Отивайки от това тук... нека да бъда достатъчно ясен. Ние вече установихме, че и двете решения, и валидното решение, и страничното решение на това ирационално уравнение, удовлетворяват това тук. Само валидното обаче удовлетворява първоначалната задача. Нека да напиша уравнението, което удовлетворяват и двете. Защото това е наистина една интересна главоблъсканица. И аз мисля, че това ти дава някакъв проблясък и един вид ти показва какво се случва, когато вземаме положителните корени на нещата. И защо, когато повдигаме на квадрат и двете страни, в известна степен може да мислим за това като загуба или добиване на някаква информация. Това може да бъде написано като х = (2x – 6)^2. Това е една валидна интерпретация на това уравнение тук. Но има една напълно друга допустима интерпретация на това уравнение. Това може също да бъде x = –1 по (2x –6)^2. И защо това са равностойни твърдения? Защото, когато повдигаме на квадрат минус 1, минус 1 ще изчезне. Това са еквивалентни твърдения. И друг начин да напишем това, е, че x е равно на... умножаваме –1 по това. Получаваме (–2x + 6) или (6 – 2x)^2. Това и това са два начина на писане на това. Сега, когато взехме нашия квадратен корен или когато... предполагам, че има два начина, по които можем да мислим за това. Когато го повдигнахме на квадрат, ние предположихме, че това беше единственото тълкуване, но това беше другото. Ние намерихме две решения на това, но само 4 удовлетворява това твърдение тук. Надявам се, че схващаш това, което казвам, защото ние един вид само вземаме... можеш да си представиш положителния корен квадратен. Ние не вземаме предвид отрицателния квадратен корен на това, защото, когато намираме квадратния корен от двете страни, за да стигнем до тук, ние вземаме само положителния корен. Друг начин да го разглеждаме – нека напиша отново първоначалното уравнение. Нека напиша отново първоначалното уравнение. Имахме корен квадратен от x е равно на 2x – 6. Казахме, че 4 е решение. 2,25 не е решение. 2,25 щеше да е решение, ако бяхме казали и двата квадратни корена на х са равни на 2x – 6. Сега го провери и 2,25 ще бъде валидно решение тук. Ако вземем отрицателния квадратен корен от 2,25, това е равно на 2 по 2,25, така че това е равно на 4,5 минус 6, което е минус 1,5. Това е вярно. Положителният вариант е, когато получаваме х = 4. Ето защо имаме две решения. И ако повдигнем на квадрат това, може би това е един по-лесен начин да го запомниш. Ако повдигнеш това на квадрат, получаваш това уравнение, при което и двете решения са валидни. Може това да ти се струва малко объркващо. Моето намерение не е да те объркам. Най-простият начин, по който може да мислиш, когато решаваш ирационални уравнения, е да отделиш радикалите, повдигаш на квадрат, продължаваш да решаваш. Може да получиш повече от един отговор. Тогава провери отговорите обратно. Отговори, които не отговарят, са странични решения. Но по-голяма част от моето обяснение в този клип е защо се появява това странично решение. И дано да съм ти създал някаква представа за това, че нашето уравнение е квадратният корен от x. Страничното решение би било валидно, ако бяхме взели плюс или минус квадратния корен от x, а не само положителния корен.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".