Опростяване на изрази с квадратни корени

Нека се упражним малко в опростяването на изрази с корени, които включват променливи. Нека кажем, че имам 2 по корен квадратен от 7х по 3 по корен квадратен от 14х^2 Спри видеото на пауза и виж дали можеш да го опростиш. Изнасяме всички точни квадрати извън корена, умножаваме и изнасяме всички точни квадрати извън знака за корен. Нека първо просто умножим това нещо. Можем да променим реда на действията. Това ще бъде същото като 2 по 3, по корен квадратен от 7х, по корен квадратен от 14 х^2 Така че това ще бъде равно на 6 по... след това имаме произведението на два корена, което можем да разглеждаме като корен квадратен от произведението. 6 по корен квадратен от... всъщност ще го оставя по този начин. 7 по х и след това... нека всъщност разложа 14. 14 е 2 по 7 по x^2. Всъщност нека продължа малко знака за корен. Причината, поради която не го умножих... Очевидно, че можехме да го умножим наум. х по х на квадрат е х на трета. Като можехме да кажем, 7 по 14 е колко? 98. Можехме да го направим. Но ако се опитваш да изнесеш точните квадрати, всъщност е по-лесно в този разложен вид тук. Особено защото от гледна точка на дадена променлива можеш да го разглеждаш вече като точен квадрат. Освен това 14 не е точен квадрат, 7 не е точен квадрат, но 7 по 7 е. 7 по 7 е точен квадрат. Това разбира се е 49. Нека го пренаредя малко, за да видим какво можем да направим. Това ще бъде 6 по... като мога да го напиша по следния начин. Корен квадратен от... Ще напишем първо всички точни квадрати. Имаме 7 по 7, това е 49, толкова правят тези двете. х на квадрат, 49 х на квадрат. И след това мога още веднъж да разделя двата знака за корен тук. Така че тук пишем всичко останало. И така, вече написах 7, 7, х^2 и имаме останало 2х. По 2х. Дано си даваш сметка, че тези две неща са еквивалентни. Можех да поставя един голям знак за корен върху 49х^2 по 2х, което щеше да е точно същото, което имаме тук, но ако имаш корен от произведението, то е равно на произведението на корените. Това следва от свойствата на степенните показатели. Тук е важно, че сега виждаме това 6 по... сега можем да изчислим корен квадратен от 49х^2, което е 7х. Корен квадратен от 49 е 7, корен квадратен от х^2 е х. И след това ги умножаваме по корен квадратен от 2х. Вече сме на финалната права. 6 по 7 е 42, по х по корен квадратен от 2х. Ключовото нещо, за което трябва да си дадем сметка, е, че продължавам да използвам това свойство, че корен от произведения или корен квадратен от произведения е същото нещо като произведение от квадратни корени. Така че тази стъпка, която направих тук, ако искаше, можеше да имаш една междинна стъпка. Можеше да кажеш, че корен квадратен от 49х^2 е същото като корен квадратен от 49 по корен квадратен от х^2, което щеше да ни даде... корен квадратен от 49 е 7, корен квадратен от х^2 е х. Нека решим още една от тези задачи. Да кажем, че имам корен квадратен от 2а по корен квадратен от 14а^3, по корен квадратен от 5а. Както винаги спри видеото на пауза и виж дали можеш да опростиш това самостоятелно. Умножаваме ги и след това изнасяме всички точни квадрати извън знака за корен. Нека първо умножим. Това ще бъде същото като корен квадратен от 2 по 14, по 5. Нека всъщност просто, просто ще... 2 и 5 са прости числа. 14 мога да разложа като 2 по 7, така че това ще бъде 2 по... вместо 14 ще напиша 2 по 7, и след това по 5, и след това имам а по а^3 по а, ще го напиша като а на пета степен. Имаме а^1 по а^3 по а^1 и степенният показател, който получаваме, е а^5. Какъв точен квадрат имаме тук? Вече виждаме точен квадрат по отношение на 2 по 2 и след това а^5 не е точен квадрат, ако мислиш по отношение на променливата а. Но можеш да разглеждаш това като точен квадрат, като а^4 по а. Нека пренаредим това малко. Това ще бъде равно на квадратния корен от... ще сложа точния квадрат най-отпред. Корен квадратен от... 4 е 2 по 2... по а^4... и след това нека поставя неточните квадрати... имам 7, 5 и това а, което все още не съм използвал. 7 по 5 е 35, така че имаме 35 а. И сега точно както казахме преди, можем... нека го направя... можем просто да кажем, че това е същото като корен квадратен от 4 по корен квадратен от а^4 – тук използваме свойствата на степенните показатели – и след това по корен квадратен от 35а. Корен квадратен от 4 е плюс 2. Можеш да разглеждаш това като положителен квадратен корен и след това квадратният корен от а^4, корен квадратен ще бъде а^2, и след това ще имаме това по корен квадратен от 35а. И сме готови! Нека решим още един пример, като този път ще включим две променливи, което, както ще видим, не е много по-сложно. Нека опростим корен квадратен от 72 х^3z^3. Тук ключовият въпрос е можем ли да го разложим. 72 не е точен квадрат, но има ли точен квадрат тук някъде? Като веднага виждаш, ако се опиташ да го разложиш, получаваш 36 по 2, а 36 разбира се е точен квадрат. По същия начин х^3 и z^3 не са точни квадрати, но всяко от тях съдържа х^2 или z^2. Нека препишем това. Това е същото като... тук мога да изнеса всички точни квадрати отпред. Имам 36, ще напиша х^2 отпред, ще напиша z^2 отпред и после това, с което оставаме е... Написахме 36 отпред, така че оставаме с 2. Написахме отпред х^2, оставаме само с х. х^3 делено на х^2 е х. 2х И след това z^3 делено на z^2 е просто z. Можеш да провериш това, като ги умножиш. Би трябвало да получиш точно същото, което имаме тук. Ще напиша малка чертичка на z, за да го разгранича, за да не прилича на 2. 36 по 2 е 72, х^2 по х е х^3. z^2 по z е z^3. И сега това е доста лесно да бъде разложено, защото... ще направя повече стъпки, отколкото ти вероятно би направил, ако го решаваш сам, но това е, защото целта тук е да се учим. И така, 2хz. Това е просто използване на свойствата на степенните показатели. Така че всичко тук е точен квадрат. Това ще бъде корен квадратен от 36 по корен квадратен от х на квадрат, по корен квадратен от z на квадрат, което ще бъде... корен квадратен от 36 е... корен квадратен от 36 е 6, корен квадратен от х^2 е х, корен квадратен от z^2 е z. Ще умножим това по корен квадратен от 2хz. И сме готови.