If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

10. клас (България)

Курс: 10. клас (България) > Раздел 2

Урок 3: Аритметична прогресия: явни и рекурентни формули
Математика
10. клас (България)
Прогресии
Аритметична прогресия: явни и рекурентни формули
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Превръщане между рекурентен и явен вид на аритметична прогресия

Класна стая на Google
Научи как да превръщаш рекурентно и явно зададените формули на аритметичните прогресии една в друга.
Преди да започнеш този урок се увери, че знаеш как да намираш рекурентно зададени формули и явни формули на аритметични прогресии.

Преобразуване от рекурентна в явна формула

Аритметична прогресия има следната рекурентно зададена формула.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Спомни си, че тази формула ни дава следните две сведения:
  • Първият член е start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • За да получим който и да е член от предхождащия го, прибавяме start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. С други думи разликата на редицата е start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Нека намерим явната формула за прогресията.
Не забравяй, че можем да представим една прогресия, чийто първи член е start color #0d923f, A, end color #0d923f, а разликата е start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, чрез стандартната явна форма start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Следователно явната формула на прогресията е a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Провери знанията си

1) Запиши явната формула на прогресията 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Запиши явната формула за прогресията.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Преобразуване на явна в рекурентна формула

Пример 1: Формулата е дадена в нормален вид

Дадена ни е следната явна формула на аритметична прогресия.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Тази формула е дадена в стандартния явен вид start color #0d923f, А, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, където start color #0d923f, А, end color #0d923f е първият член и start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 е разликата. Следователно
  • първият член на редицата е start color #0d923f, 5, end color #0d923f и
  • разликата на редицата е start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Нека намерим рекурентно зададената формула за прогресията. Спомни си, че рекурентно зададената формула ни дава две сведения:
  1. Първият член left parenthesisза който знаем, че е start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
  2. Правилото на прогресията за получаване на всеки член от члена, който е преди него left parenthesisкоето знаем, че е "добави start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis
Следователно това е рекурентно зададената формула за прогресията.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Пример 2: Формулата е дадена в опростен вид

Дадена ни е следната явна формула на аритметична прогресия.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Обърни внимание, че тази формула не е дадена в стандартния си явен вид start color #0d923f, А, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
По тази причина не можем просто да използваме структурата на формулата, за да намерим първия член и разликата. Вместо това можем да намерим първите два члена:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Сега виждаме, че първият член е start color #0d923f, 12, end color #0d923f, а разликата на редицата е start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Следователно това е рекурентно зададената формула за прогресията.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Провери знанията си

3) Явната формула на една аритметична прогресия е f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Явната формула на една аритметична прогресия е f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Явната формула на една аритметична прогресия е h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Явната формула на една аритметична прогресия е l, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача с повишена трудност

7*) Избери всички формули, които вярно представят аритметичната прогресия 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.