Основно съдържание

10. клас (България)

Курс: 10. клас (България) > Раздел 2

Урок 3: Аритметична прогресия: явни и рекурентни формули

Рекурентни формули за аритметични прогресии

Научи как да намираш рекурентно зададените формули за аритметични прогресии. Например намери рекурентно зададената формула за редицата 3, 5, 7,...

Преди да минеш този урок, се погрижи да се запознаеш с Въведение във формулите на аритметичните прогресии.

Как действат рекурентно зададените формули

Рекурентно зададените формули ни дават две важни сведения:

Първият член от редицата
Закономерността, чрез която да получим всеки член от неговия предходен

Това е рекурентната формула, задаваща прогресията 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point, заедно с тълкуване за всяка част.

\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{първият член е 3}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{добавяме 2 към предишния член}} \end{cases}

В тази формула n е произволно число и a, left parenthesis, n, right parenthesis е n, start superscript, start text, и, я, т, end text, end superscript член. Това означава, че a, left parenthesis, 1, right parenthesis е първият член, и a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis е членът преди n, start superscript, start text, т, и, я, end text, end superscript член.

За да намерим петия член например, трябва да продължим редицата член по член:

a, left parenthesis, n, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesis			equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f
a, left parenthesis, 2, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, plus, 2	equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2	equals, start color #11accd, 7, end color #11accd
a, left parenthesis, 4, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #11accd, 7, end color #11accd, plus, 2	equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2	equals, 11

Страхотно! Тази формула ни дава същата редица, която е описана с 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Провери знанията си

1) Намери b, left parenthesis, 4, right parenthesis в редицата, дадена от

\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}

b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals

Записване на рекурентни формули

Да предположим, че искаме да напишем рекурентно зададената формула на аритметичната прогресия 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point

Двете части на формулата трябва да дават следната информация:

Първият член left parenthesisкойто е start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
Правилото за намиране на всеки член от предходния left parenthesisкоето е "добави start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6"right parenthesis

Следователно рекурентно зададената формула трябва да изглежда по следния начин:

\begin{cases}c(1)=\greenE 5\\\\ c(n)=c(n-1)\maroonC{+3} \end{cases}

Провери знанията си

2) Каква е рекурентно зададената формула на редицата 12, 7, 2... ?

(Избор А)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=-5 \end{cases}$
(Избор Б)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=d(n-1)+5 \end{cases}$
(Избор В)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=d(n-1)-5 \end{cases}$
(Избор Г)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=-5\cdot d(n-1) \end{cases}$

3) Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на редицата 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point.

\begin{cases}e(1)=A\\\\ e(n)=e(n-1)+B \end{cases}


A, equals Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на редицата minus, 1, comma, minus, 4, comma, minus, 7, comma, point, point, point.

\begin{cases}f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}


A, equals Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Въпрос за размисъл

5) Това е основната рекурентно зададена формула за аритметични прогресии.

\begin{cases}g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}

Какво е разлика на една аритметична прогресия?

Сортирай по:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.