Аритметична прогресия: задача от АМИП (2003 AIME II задача 8)

Намери осмия член от редицата 1440, 1716, 1848 и т.н., чиито членове се получават чрез умножение на съответните членове на две аритметични прогресии. Аритметични прогресии... Винаги имам проблем да го произнеса както трябва. Нека да помислим върху двете аритметични прогресии и как да представим произведението от съответните им членове, за да получим членовете на дадената редица. Нека първата от двете аритметични прогресии да започва с числото а. Започва с а, а следващият член, т.е. следващият член от прогресията, ще бъде равен на някаква константа плюс а. Това е определението за аритметична прогресия. Просто се добавя една и съща константа към всеки следващ член. Тогава ще получим а, а плюс m, а следващият член ще бъде равен на a плюс m, плюс m, т.е. а плюс 2m. И ако просто продължим по този начин, ще стигнем до осмия член. Защото ще вземем осмия член от тази прогресия, ще го умножим по осмия член от другата прогресия, и ще получим осмия член от дадената редица ето тук. Към втория член просто прибавихме един път m, а към третия член прибавихме 2m. Следователно към осмия член ще трябва да прибавим 7m, т.е. с едно по-малко от поредния номер на съответния член. Към първия член прибавяме нула пъти m. Тогава осмият член ще бъде равен на а плюс 7m. Това е осмият член от тази аритметична прогресия. Нека сега да запишем и другата аритметична прогресия. Да кажем, че започва с числото b. Следващият член ще бъде равен на някаква константа плюс b. Нека да го запишем като b плюс n. Тогава третият член ще бъде равен на b плюс n, плюс n, т.е. ще бъде равен на b плюс 2n. И така, докато не достигнем до осмия член. Ако следваме същата логика, то ще получим, че е равен на b плюс 7n. Разликата между всички тези членове е равна на константата n. Дадено е, че произведението на съответните членове на тези две аритметични прогресии е равно на съответните членове от дадената редица. Тоест ако вземем произведението на а по b – ще ги означа с различен цвят – a по b е равно на 1440. Знаем също така, че (а + m) по (b + n) е равно на 1716. Знаем още, че (а + 2m), умножено по (b + 2n) е равно на 1848. Ако искаме да получим осмия член от дадената редица, просто следва да умножим ето тези два члена тук. Следователно осмият член ще бъде равен на (а + 7m), умножено по (b + 7n). Преди въобще да направим това, изглежда, че имаме достатъчно информация, за да поставим някакви условия за стойностите на a, b, m и n. Нека да помислим какъв вид ще придобие този израз, и може да получим самите числа, когато решим тази система тук. И така, осмият член от дадената редица ще бъде равен на следното – ще го запиша с друг цвят – ще бъде равен на следното: Нека просто да умножим тези два двучлена. a умножено по b е равно на ab. Следва плюс а по 7n. Тоест плюс 7аn. Плюс 7m по b. Или плюс 7 по b по m. Плюс 7 по m, по 7 по n. Това е плюс... 7 по 7 е равно на 49, т.е. плюс 49 по m по n. Това е изразът, чиято стойност трябва да намерим. Искаме да намерим стойността на ето този израз. (огражда го с червено) Вече знаем някои от членовете тук. Знаем, че a по b е равно на 1440. Така че вече сме една крачка напред. Ето този член тук ще бъде равен на 1440. Нека сега да видим дали можем да намерим нещо за останалите членове ето тук, като използваме информацията от условието. Нека извършим умножението и да опростим тези изрази. Ще запиша отново втория израз с различен цвят. След умножението се получава a по b, което е равно на ab, плюс a по n, което е равно на an. Плюс m по b, или b по m, което е равно на bm. Плюс m по n, плюс mn. Този израз е равен на 1716. Знаем, че ab е равно на 1440. Знаем, че този член е равен на 1440. Тогава нека извадим 1440 от двете страни на равенството. Отново ще променя цветовете. Добре, нека да извадим 1440... Ох, мисля, че не успях да сменя цветовете! ...от двете страни на това равенство. Ето тези два члена очевидно се унищожават. От лявата страна остава an плюс bm, плюс mn, което е равно на следното – хилядите се унищожават и остава 716 минус 440. Получава се 6 минус 0, което е равно на 6. След това заемаме и тук остава 6. Това се получава 11 минус 4, което е равно на 7. 6 минус 4 е равно на 2. 1 минус 1 е равно на 0. Следователно an плюс bm, плюс mn, е равно на 276. Получихме този резултат, като използвахме първото и всъщност второто уравнение. Нека сега да използваме третото уравнение ето тук. Ще го направя с различен цвят, но ми се изчерпват цветовете. Ще го запиша в зелено. Имаме a по b, което е равно на ab, плюс a по 2n. Тоест е равно на 2an. Плюс 2m по b, т.е. плюс 2bm. Плюс 2m по 2n, т.е. плюс 4mn, което е равно на 1848. Тук ще приложим същата идея. Този член a по b e равен на 1440. Може да извадим 1440 от двете страни на равенството. Нямам свободно място тук, така че просто ще извадя 1440 от лявата и дясна страна. Сега от лявата страна на равенството остава само ето тази част тук. (подчертава с жълто) Това е 2an... Ще го запиша ето тук, за да не изглежда объркващо. Имаме 2an плюс 2bm, плюс 4mn е равно на следното – тези двата члена се унищожават. 848 минус 440 е равно на 408. Тоест е равно на 408. Правилно ли го изчислих? 848... Да! Точно така, това е 408. И двете страни на това равенство се делят на 2, така че нека да ги разделим на 2. Ако разделим всичко на 2, то получаваме an плюс bm, плюс 2mn, цялото е равно на 204. Двата израза изглеждат много близки като структура. Ако разгледаме ето този член като една променлива, а този като друга, то изглежда, че може да изразим mn, а след това да изразим an и bm. Причината това да изглежда полезно, т.е. да бъде полезно, е крайният отговор, където имаме много пъти по mn. Следователно, ако знаем на какво е равно mn, то може да го заместим в това уравнение, а ако знаем на какво е равно an плюс bm, то просто ще умножим по тази седмица, и ще получим този член ето тук. Нека го направим. Да намерим колко е mn. За да изразим mn, ще извадим това уравнение от ето това уравнение. Нека го запиша със същия цвят. Ще извадя това уравнение от ето това уравнение. (показва на екрана) Ще го умножа по минус 1. Имаме минус an минус bm, минус mn, което е равно на минус 276. След като извадим, получаваме следното. Тези два члена се унищожават, тези два също, и остава 2mn минус mn, т.е. само mn. Тогава 204 минус 276 е равно на минус 72. Успяхме да изразим mn. Това е полезно, защото този член тук е равен на 49mn. Тогава това число ето тук ще бъде равно на минус 72. А сега на какво е равно an плюс bm? Знаем, че този член тук е равен на минус 72. (зачертава с жълто) Нека да прибавим 72 към двете страни на това уравнение. Прибавяме 72. От лявата страна получаваме an плюс bm, защото тези два члена се унищожават, което е равно на... 6 плюс 2 е равно на 8. 7 плюс 7 е равно на 14. Ето тук се получава плюс 1, т.е. 1 плюс 2 е равно на 3. Тоест е равно на 348. Следователно осмият член от дадената редица, който сме намерили като израз, е ето това нещо тук, е равен на ab, което е равно на 1440, плюс този сбор ето тук, (огражда го със синьо) който е равен на 7 по – ще го сметна тук горе – този израз тук, ограден със синьо, е равен на 7 по (an + bm). Знаем, че (an + bm) e равно на 348. Получаваме 7 по 348. И накрая имаме плюс този член ето тук, който е равен на 49 по mn. Може да кажем, че е равен на минус 49 по 72. Нека го запиша. Равен е на 49 по минус 72. Това ще бъде осмият член от дадената редица. Нека да изчислим на какво е равен този израз. Нека да видим как да го направим. Може просто да извършим умножението. Ще получим 7 по 348. Не разполагам с калкулатор. 7 по 348. 8 по 7 е равно на 56. 4 по 7 е равно на 28, плюс 5 е равно на 33. 3 по 7 е равно на 21, плюс 3 е равно на 24. Тогава този член е равен на 2436. Можем да прибавим 1440 към получения член. А вярно ли го изчислих? 7 по 8 е равно на 56, а 7 по 4 е равно на 28, плюс 5 е равно на 33. Да, вярно е! След това прибавяме 1440 към този член. Получаваме 3876. Това дотук е ето тази част. Това е ето този сбор тук. (огражда го с червено) След това трябва да изчислим 49 по 72 и да го извадим от този член. Нека да изчислим 49 по 72. 2 по 9 е равно на 18, а 2 по 4 е равно на 8, плюс 1 е равно на 9. Записваме 0 ето тук. 9 по 7 е равно на 63. 7 по 4 е равно на 28, плюс 6 е равно на 34. 34, а това е 8. 12, плюс 1 наум, 5 и 3. Следователно ще извадим 3528. И така, какво се получава сега? Ето това дава 16, това е равно на 6. 16 минус 8 е равно на 8. 6 минус 2 е равно на 4. 8 минус 5 е равно на 3 и тогава 3 минус 3 е равно на 0. Следователно осмият член от дадената редица ще бъде равен на това, което току-що записах, т.е. 348. И сме готови!