If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:08

Превръщане между рекурентен и явен вид на аритметична прогресия

Аритметична прогресия: явни и рекурентни формули

Видео транскрипция

Тук имам една функция h от n, и тя задава явно членовете на една аритметична прогресия. Нека направим една бърза таблица тук. Имаме n и след това имаме h от n. Когато n е равно на 1, h от n е минус 31, минус 7 по 1 минус 1, което е равно на нула. Това ще бъде просто 0, така че ще имаме минус 31. Когато n е равно на 2, ще имаме минус 31 минус 7 по 2 минус 1, 2 минус 1 е просто 1, така че имаме минус 31 минус 7, което е равно на минус 38. Когато n е равно на 3, ще имаме минус 31 минус 7 по 3 минус 1, което е 2, така че ще извадим 7 два пъти. Ще имаме минус 31 минус 14, което е равно на минус 45. Какво виждаме, че се случва тук? Започваме от минус 31 и след това продължаваме като изваждаме минус 7. Продължаваме като изваждаме минус 7 от това. Изваждаме минус 7 с един път по-малко от номера на члена... Изваждаме минус 7 с един път по-малко от номера на члена, който имаме. Ако разглеждаме третия член, изваждаме минус 7 два пъти. Ако разглеждаме втория член, изваждаме минус 7 веднъж. Всичко това е хубаво, а сега спри видеото на пауза и виж дали можеш да определиш тази същата аритметична прогресия. Прогресията тук започва от минус 31 и я продължаваш, като изваждаш 7, така че имаме минус 38 минус 45. Следващото ще бъде минус 52 и продължаваш по същия начин нататък. Продължаваш да изваждаш минус 7. Можеш ли да определиш тази аритметична прогресия чрез рекурентното задаване на функцията? Защо не се опиташ да го направиш? Да запишеш функцията чрез рекурентна формула. Нека просто я наречем g от n, В някои отношения рекурентната формула на функцията е по-лесна, защото можеш да кажеш... Първият член, когато n е равно на 1, ако n е равно на 1, нека го напиша, ако n е равно на 1, колко ще бъде g от n? Ще бъде минус 31, минус 31. А ако n е по-голямо от 1 и е естествено число, това ще бъде определено за всички положителни цели числа и за естествените числа, ще имаме предишния член, а именно g от n минус 1, минус 7. Ако изберем просто един произволен член, трябва да погледнем предходния член и след това да извадим 7. Всичко това става хубаво и лесно, защото продължаваш да гледаш предходните членове, чак докато не стигнеш до базовия случай, който е при n равно на 1, като можеш да ги построиш обратно от него. И получаваш точно тази същата аритметична прогресия. Нека разгледаме още един пример, но този път да го направим по обратния начин. Тук имаме една аритметична прогресия, определена чрез рекурентно зададени членове и аз искам да създадем функция, която да определя прогресията явно. Нека помислим върху това. Един от начините да разглеждаме тази аритметична прогресия, когато n е равно на 1, тя започва от 9,6 и след това всеки член е предишният минус 0,1. Вторият член ще бъде предишният член минус 0,1, така че ще бъде 9,5. След това ще отидеш на 9,4. След това ще имаш 9,3. Можем да продължим още и още, и още. Ако искаме, можем да направим малка таблица тук и бихме могли да кажем, че това е n, това е h от n, като ти виждаш, че когато n е равно на 1, h от n е 9,6. Когато n е равно на 2, сега сме при този случай тук, ще имаме h от 2 минус 1, което ще бъде h от 1 минус 0,1. Ще имаме просто това минус 0,1, което ще бъде 9,5. Когато h е 3, ще имаме h от 2, h от 2 минус 0,1, h от 2 е ето тук. Изваждаш една десета и получаваш 9,4, точно което виждаме ето тук. Ако спреш видеото на пауза сега дали можеш да определиш това... Създай функция, която задава или определя тази аритметична прогресия явно. Тук тя беше зададена рекурентно. Искаме да я зададем явно. Нека просто я наречем, например да я наречем f от n. Можем да кажем, че имаме 9,6, ще извадим 0,1определен брой пъти, в зависимост от това за кой член говорим. Ще извадим 0,1, но колко пъти ще го извадим като функция от n? Да видим. Ако говорим за първия член, го изваждаме 0 пъти. При втория член го изваждаме 1 път. При третия член го изваждаме 2 пъти. При четвъртия член го изваждаме 3 пъти. Независимо за кой член говорим, изваждаме това толкова пъти, колкото е номера на члена минус 1. Ако говорим за n-тия член, изваждаме тази стойност n минус 1 пъти. Можеш да провериш, че това ще бъде така. Когато n е равно на 1, този член тук ще бъде 0, така че цялото това нещо ще бъде 0. Получаваш 9,6. Когато n е равно на 2, 2 минус 1, изваждаш 0,1 само един път. 9,6 минус 0,1 е 9,5. Можеш да продължиш да го правиш. Можеш да начертаеш таблица и да ги изчислиш. Ключовият момент е, че започваш от 9,6 и изваждаш 0,1 с едно по-малко пъти от номера на члена, който разглеждаш. Ако n е равно на 4, ще извадиш 0,1 три пъти, Изваждаш 0,1 един път, изваждаш 0,1 два пъти, изваждаш 0,1 три пъти.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".