Въведение към сума на членовете на аритметична прогресия

Нека кажем, че имаме най-простата аритметична прогресия. Вероятно най-простата прогресия ще започва от 1 и просто ще увеличаваме с 1 -- 1, 2, 3, като ще стигнем чак до n. Искам да помислим каква ще бъде сумата на тази прогресия? Вече знаем, че сборът от членовете на една прогресия се нарича сума на прогресията. Каква е сумата? Ще я означа с S с индекс n. На колко ще бъде равна? 1 + 2 + 3 + ... като стигаме чак до n. Тук ще използваме един хубав малък трик, при който ще пренапиша тази сума като S с индекс n, но сега ще я напиша в обратен ред, ще я напиша като n + (n - 1) + (n - 2) + ... чак до 1. Като сега ще събера тези две равенства. Знаем, че S с индекс n е равно на това, така че прибавяме едно и също нещо към двете страни на това равенство тук горе. От лявата страна ще имаме S с индекс n плюс S от n е просто 2 по S с индекс n, а от дясната страна, като тук е мястото, където ще започнем да виждаме нещо много интересно, имаме 1 + n, което ще бъде просто n + 1. Имаме 2 + (n - 1), което е ... 2 + (n - 1) ще бъде отново n + 1, плюс n, плюс 1. Имаме 3 + (n - 2), като това ще бъде отново n + 1. Мисля, че виждаш какво се случва тук. Като ще стигнем чак до последната двойка, или последните два члена, където имаш отново n + 1. Плюс n, плюс 1. Колко от тези n + 1 имаме? Имаме n от тях. Имаше n на брой членове във всяко от тези равенства. 1, 2, 3... чак до n. Така че можем да напишем това нещо отново като 2 по S с индекс n е равно на – като имаш n на брой (n+1). Така че можем да го напишем като n по (n + 1), n по (n + 1). И сега можем да намерим S с индекс n, за да намерим сумата. Просто можем да разделим двете страни на 2. Така че ще останем със сумата от 1 до n. Тази аритметична прогресия, при която просто увеличавахме с 1, започва от 1 и ще бъде равна на n(n + 1)/2. Това е по-ясно, защото сега можеш бързо да намериш сумата. Нека кажем от 1 до 100. Ще имаме 100 по 101 върху 2. Можеш да намираш тези суми много бързо. Любопитно ми е нещо, което ще разгледаме в следващото видео – дали можем да обобщим това за всяка една аритметична прогресия? Започнахме с една много проста, при която увеличавахме с 1. Изглежда, че ако я бяхме написали по този начин, това е n по (n + 1) върху 2. Това тук, това n, това е n-тият член от редицата, а това тук беше първият член от редицата. Така че поне в този случай изглежда, че вземам средното от първия член и n-тия член. Така че това тук е средното, това тук е средното от а с индекс 1 и а с индекс n След това го умножавам по n, като съм любопитен, дали това ще бъде вярно за всяка една аритметична прогресия? Дали сумата ѝ ще бъде средното от първия и последния ѝ член, по броя на членовете?