If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

10. клас (България)

Курс: 10. клас (България) > Раздел 2

Урок 6: Геометрична прогресия: явни и рекурентни формули и формула за общия член

Преговор на геометрични прогресии

Преговори геометричните прогресии и реши различни задачи, свързани с тях.

Формули за членовете на геометрични прогресии

В геометричните прогресии отношението между последователните членове винаги е едно и също. Ние наричаме това отношение постоянно отношение, или частно.
Например частното на следната прогресия е 2:
start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6
1, comma2, comma4, comma8, comma, point, point, point
Формулите на геометричните прогресии дават a, left parenthesis, n, right parenthesis, n, start superscript, start text, т, и, я, end text, end superscript член на прогресията.
Това е явна формула, задаваща геометричната прогресия, чийто първи член е start color #11accd, k, end color #11accd и частното е start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6:
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, dot, start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Това е рекурентна формула, задаваща геометричната прогресия:
{a(1)=ka(n)=a(n1)r\begin{cases}a(1) = \blueD k \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC r \end{cases}
Искаш ли да научиш повече за геометричните прогресии? Виж това видео.

Продължаване на геометрични прогресии

Да предположим, че искаме да продължим прогресията 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point. Можем да видим, че всеки член е start color #ed5fa6, dot, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 от предходния член:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma, point, point, point
Така че просто умножаваме по това отношение, за да открием, че следващият член е 2:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma2, comma, point, point, point
Задача 1
  • Електричен ток
Кой е следващият член на геометричната прогресия start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Записване на рекурентни формули

Да предположим, че искаме да напишем рекурентно зададената формула за 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point. Вече знаем, че частното е start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6. Виждаме още, че първият член е start color #11accd, 54, end color #11accd. Следователно това е рекурентно зададената формула за прогресията:
{a(1)=54a(n)=a(n1)13\begin{cases}a(1) = \blueD{54} \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
Задача 1
  • Електричен ток
Намери k и r в тази рекурентна формула, задаваща геометричната прогресия start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots.
{a(1)=ka(n)=a(n1)r\begin{cases}a(1) = k \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot r \end{cases}
k, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
r, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Записване на явни формули

Да предположим, че искаме да напишем явната формула за редицата 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Вече знаем, че частното е start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6, а първият член е start color #11accd, 54, end color #11accd. Следователно това е явната формула за прогресията:
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #11accd, 54, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6, right parenthesis, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Задача 1
  • Електричен ток
Напиши явна формула за start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.