Основно съдържание

Курс: 10. клас (България) > Раздел 2

Урок 6: Геометрична прогресия: явни и рекурентни формули и формула за общия член

Преговор на геометрични прогресии

Преговори геометричните прогресии и реши различни задачи, свързани с тях.

Формули за членовете на геометрични прогресии

В геометричните прогресии отношението между последователните членове винаги е едно и също. Ние наричаме това отношение постоянно отношение, или частно.

Например частното на следната прогресия е

2

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Формулите на геометричните прогресии дават

a (n)

n^{тия}

член на прогресията.

Това е явна формула, задаваща геометричната прогресия, чийто първи член е

k

и частното е

r

a (n) = k \cdot r^{n - 1}

Това е рекурентна формула, задаваща геометричната прогресия:

{\begin{cases} a (1) = k \\ a (n) = a (n - 1) \cdot r \end{cases}

Искаш ли да научиш повече за геометричните прогресии? Виж това видео.

Продължаване на геометрични прогресии

Да предположим, че искаме да продължим прогресията

54, 18, 6, …

. Можем да видим, че всеки член е

\cdot \frac{1}{3}

от предходния член:

	$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍
$54,$ ‍		$18,$ ‍		$6, …$ ‍

Така че просто умножаваме по това отношение, за да открием, че следващият член е

2

	$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍
$54,$ ‍		$18,$ ‍		$6,$ ‍		$2, …$ ‍

Задача 1

Кой е следващият член на геометричната прогресия $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍?

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Записване на рекурентни формули

Да предположим, че искаме да напишем рекурентно зададената формула за

54, 18, 6, …

. Вече знаем, че частното е

\frac{1}{3}

. Виждаме още, че първият член е

54

. Следователно това е рекурентно зададената формула за прогресията:

{\begin{cases} a (1) = 54 \\ a (n) = a (n - 1) \cdot \frac{1}{3} \end{cases}

Задача 1

Намери $k$ ‍ и $r$ ‍ в тази рекурентна формула, задаваща геометричната прогресия $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍.

{\begin{cases} a (1) = k \\ a (n) = a (n - 1) \cdot r \end{cases}

k =

r =

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Записване на явни формули

Да предположим, че искаме да напишем явната формула за редицата

54, 18, 6, …

Вече знаем, че частното е

\frac{1}{3}

, а първият член е

54

. Следователно това е явната формула за прогресията:

a (n) = 54 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

Задача 1

Напиши явна формула за $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍

a (n) =

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.