Текстова задача за сума на геометрична прогресия: ипотечен кредит

В настоящия урок искам да разгледам математиката, която стои зад ипотечните кредити. Действително няма да е урок за финансите. Всъщност е насочено повече към математиката. В моето съзнание обаче засяга един от най-фундаменталните въпроси, които си задавам от доста време насам. Известно е, че теглим кредити, когато искаме да си купим къщи. Да кажем, че изтеглиш 200 000 долара ипотечен кредит. Той е обезпечен с твоето жилище. Ще го изплащаш 30 години, или можем да кажем, че това е равно на 360 месеца. Защото, ако нормално го изплащаш всеки месец, лихвата се начислява всеки месец. Нека да кажем, че плащаш 6% лихва. Това е годишна лихва и обикновено се разпределя на месечна база, т.е. 6 %, разделено на 12. Тоест, става дума за 0,50 % на месец. На месец. Когато теглиш такъв кредит, твоят брокер или банкерът ти, ще погледне някаква таблица, или ще въведе числата в някаква компютърна програма. И ще ти каже "Добре, вноската ти следва да бъде 1200 долара на месец.". Ако изплащаш тези 1200 долара на месец, в продължение на 360 месеца, в края на тези 360 месеца ще изплатиш 200-те хиляди долара плюс лихвите, които са се натрупали. Но това число не се получава така лесно. Нека покажем пример за това как се изчислява вноската по един ипотечен кредит. В нулевия ден разполагаш с 200 000 долара заем. Имаш 200 000 долара заем. Не изплащаш никакви вноски. Ще направиш първата си вноска след един месец, считано от днес. Тази сума ще се получи от определените 0,50 % лихва. Като десетична дроб това е равно на 0,005. След един месец с такава лихва тази сума ще нарасне на 200 000 * (1 + 0,005). Тогава ще внесеш тези 1200 долара. Сумата ще стане минус тези 1200 долара. Може би следва да го запиша като 1,2 хил. В момента просто илюстрирам самата идея. Това, което остава за следващия месец, ще се определи отново от числото 0,50 %, или 0,005. Следващия месец отново ще се върнеш и ще внесеш тези 1200 долара. Минус 1200 долара. Това ще се случи 360 пъти. Тоест ще продължиш по същия начин. Можеш да си представиш, че ако действително се опитваш да изчислиш този израз, накрая на периода ще имаш един огромен израз, който ще съдържа 360 скоби ето тук. И накрая трябва да е равно на 0. Защото, след като направиш последната вноска, то къщата е изплатена. Как обаче първоначално се определя месечната вноска? Нека да я означим с Р. Съществува ли математически метод, за да я изчислим? За да го направим, нека да разгледаме по-общо задачата. Нека да кажем, че L е равно на сумата на кредита. Нека i да е равно на месечната лихва. Месечна лихва. Нека n е равно на броя месеци, за срока на погасяването. Тогава искаме p да е равно на месечната вноска, т.е. месечното плащане. Част от него е лихвата, част от него е главницата. Обаче вноската, която ще изплащаш всеки месец, за да изплатиш кредита и лихвата, е една и съща. Така че това е твоята месечна вноска. Същият израз, който току-що записах тук горе в общ вид, започва със сумата на кредита L. След един месец ще се увеличи като умножим сумата по 1 + i. В случая i е равно на 0,005. След това изплащаш месечна вноска, равна на Р, т.е. записваме минус Р. Следователно това се получава накрая на месеца. Сега обаче имаш отново някаква сума, която е останала от твоя заем. Тя се изчислява за следващия месец. Тогава ще внесеш отново сумата Р. И този процес ще се повтори 300 пъти, или n пъти, защото все още става дума за общия вид. Следователно ще имаш n на брой скоби. И след като процесът се повтори n пъти, то всичко това ще бъде равно на 0. Въпросът ми, този на който искам да отговоря в настоящия урок, е следният: Как ще намерим стойността на Р? Ако са известни сумата на кредита, месечният лихвен процент и броят месеци, то как ще намерим Р? Действително не изглежда като лесно алгебрично уравнение, което да решим. Нека да видим дали може да направим малко преобразувания. Нека да видим дали може да запишем израза по друг начин. Нека да използваме пример, в който числото n е равно на 1. Ако n е равно на 1, то ситуацията изглежда по следния начин. Вземаш сумата на кредита, олихвяваш я за един месец, т.е. 1 + i, а след това правиш месечната вноска. Това е кредит, който се изплаща за един месец. Тоест след едно плащане сумата на кредита е покрита. Нищо не е останало за доплащане. За да намерим Р, можем да разменим двете страни на уравнението. Получава се Р е равно на L * (1 + i). Разделяме двете страни на уравнението на 1 + i. Получаваме Р върху (1 + i) е равно на L. Може би ще кажеш: "Хей, ето че намерихме Р. Защо правиш това?". Правя го, за да ти покажа модела, който ще се получи. Нека да видим какво ще се получи, когато n е равно на 2. n е равно на 2. Тогава започваш с първоначалния кредит. Олихвява се за един месец. Правиш своята вноска. Тогава остава някаква сума от кредита. Тя се олихвява за още един месец. Тогава правиш своята втора вноска. Този ипотечен кредит съдържа само две вноски. И сега е изплатен! Нямаш останала сума от кредита. Изплатени са и главницата, и лихвата. Нека сега да намерим Р. Ще запиша Р с някакъв цвят. Ето това Р ще направя в розово. Нека да прибавим Р към двете страни на уравнението, след което да ги разменим. Следователно това зелено Р ще бъде равно на ето този израз ето тук. Равно е на L * (1 + i), минус ето това розово Р. Това е същото Р. Просто искам да ти покажа алгебрично как се получава. Минус това розово Р, по (1 + i). Ако сега разделим двете страни на (1 + i), ще се получи Р върху (1 + i) е равно на L * (1 + i), минус това розово Р. Нека сега прибавим това розово Р към двете страни на уравнението. Получава се розовото Р, плюс това Р върху (1 + i), е равно на L * (1 + i). Сега разделяме двете страни на (1 + i). Получава се розовото Р върху (1 + i), плюс зеленото Р, същото Р, което вече е разделено на (1 + i). Сега отново ще бъде разделено на (1 + i). Тоест, ще бъде разделено на (1 + i) на квадрат. Равно на кредита L. Получава се нещо интересно. Може би е добре да изгледаш уроците за настоящата стойност. В този случай вземаш месечната вноска, разделяш я на лихвата, и получаваш сумата на кредита. Вземаш всяка от вноските. Разделяш я на 1 плюс месечната лихва, на степен броя на месеците. Действително вземаш настоящата стойност на вноските и отново получаваш сумата на кредита. Може да го провериш, ако искаш да се упражниш по алгебра. Може да направиш същото с n равно на 3. Няма да го направя, защото нямам толкова време. Ако избереш n да е равно на 3, то ще получиш, че сумата на кредита е равна на Р върху (1 + i), плюс Р върху (1 + i) на квадрат, плюс Р върху (1 + i) на трета степен, Ако имаш време, насърчавам те да го докажеш самостоятелно, като използваш същия подход, който приложихме тук. Ще видиш, че ще се получи малко страшно. Ще има много преработки на израза, но няма да отнеме твърде много време. По принцип се надявам, че ти показах, че можем да представим сумата на кредита като настоящата стойност на всички вноски. Тогава може да кажем, че сумата на кредита – ако обобщим, за n месеци, вместо за някакво число – е равна на следното – ще изнеса Р пред скоби. Равно е на Р по 1 върху (1 + i), плюс 1 върху (1 + i) на квадрат, и т.н. n брой пъти, накрая плюс 1 върху (1 + i) на степен n. Сега може би това ти изглежда познато. Това е сума от членовете на един геометричен ред. Има начин да намерим сумата на геометричен ред с произволен брой членове. Геометричен ред. Както казах в началото, този урок ще бъде за приложение на сума от членовете на геометричен ред. Равно е на сумата от 1 върху (1 + i) на степен – ще използвам някаква друга буква – на степен j, като j започва от 1... започва от първа степен - т.е. ето този член – от j равно на 1, до j е равно на n. Това е, на което е равна тази сума. Нека да видим дали има някакъв лесен начин да изчислим сумата. Не искаме да събираме 360 пъти. Може да го направиш и ще получиш число, разделяме L на това число и получаваме Р. Трябва да има обаче и по-лесен начин да се направи. Нека да видим дали можем да опростим израза. За по-лесни изчисления ще направя едно заместване. Да кажем, че r е равно на 1 върху (1 + i). И нека цялата тази сума да е равна на S. Тази сума тук е равна на S. Ако r е равно на всеки от тези членове, тогава S ще бъде равно на следното – на r на първа степен. Записвам r на първа степен. Това ще бъде равно на r на квадрат, защото ако повдигнем на квадрат числителя, отново се получава 1. Тогава имаме плюс r на квадрат, плюс r на трета и т.н., докато не достигнем до плюс r на степен n. Ще ти покажа един малък трик. Винаги забравям формулата, така че това е добър начин да намериш сумата на геометричен ред. Всъщност, това може да се използва за намиране сумата на безкраен геометричен ред. В случая обаче работим с краен ред. Нека да умножим S по r. На какво ще бъде равно S по r? Ако умножиш всеки един от тези членове по r, то първият ще се получи r на квадрат. Вторият ще е r на трета. Продължаваш така, докато не достигнеш до r на степен (r - 1). Умножаваш го по r и получаваш r на степен n. След това умножаваш r на степен n по r и получаваш плюс r на степен (n + 1). Ето това са всичките членове, умножени по r, като просто ги поставям под една и съща степен. Това, което сега можеш да направиш, е да извадиш ето този зелен ред от този лилав ред. И ако образуваме S минус r * S, какво ще се получи? Просто изваждам този ред от този ред. Ето тук се получава r^1 минус 0, т.е. r на първа степен минус нула. След това се получава r на квадрат минус r на квадрат и се унищожават. r на трета минус r на трета се унищожават. Всички членове до r на степен n минус r на степен n се унищожават. Тогава остава този последният член тук. Ето защо това е хубав трик. Остава минус r на степен (n плюс 1). Сега изнасяме S пред скоби. Получава се S * (1 – r), дотук само изнесох S пред скоби, е равно на r на първа степен, минус r на степен (n + 1). Ако сега разделим двете страни на (1 – r), то ще получим търсената сума. Търсената сума е равна на r, минус r на степен (n + 1), върху (1 – r). На това е равна търсената сума, като дефинирахме r по този начин. А сега може да преработим цялата тази щура формула. Можем да кажем, че сумата по кредита е равна на месечната вноска, умножена по ето този израз. Ще го запиша в зелено. Умножено по r минус r на степен (n + 1), всичко това е върху (1 – r). Ако сега искаме да изразим Р, умножаваме двете страни по реципрочния на този израз и получаваме, че Р е равно на сумата по кредита, умножена по реципрочното на ето този израз. Записвам го в розово, защото е реципрочно. (1 – r), върху r минус r на степен (n + 1). Където r е равно на този израз ето тук. И сме готови! Това е начинът да намериш на какво е равна вноската на твоя ипотечен кредит. Нека да го приложим. Нека да кажем, че кредитът ти е равен на 200 000 долара. Нека годишната лихва е равна на 6%, което е 0,5 % на месец, т.е. равно на 0,005. Това е стойността на месечната лихва. Нека да кажем, че е кредит за 30 години, така че n ще бъде равно на 360 месеца, Нека да изчислим колко е месечната вноска. . Първо искаме да намерим на какво е равна стойността r. Нека да намерим стойността на r. r е равно на 1 върху 1 + i. Нека вземем 1, разделено на (1 + i), т.е. 1 плюс 0,005. На това е равна месечната лихва, на половин процент. Затварям скобите, това е равно на 0,995 – това е стойността на r. Нека го запиша, 0,995. Този калкулатор не запазва променливи, така че просто ще запиша това тук долу. r е равно на 0,995. Просто използвахме това ето тук. пропускам няколко десетични места, но мисля, че e ОК. Важното нещо тук, е да ти представя основната идея. На какво е равна месечната вноска? Нека умножим кредита от 200 000 долара по (1 – r), т.е. по (1 – 0,995), разделено на r, което е равно на 0,995, минус 0,995 на степен... Сега n е равно на 360 месеца, така че ще се получи 360 плюс 1, или на степен 361. Това определено не мога да пресметна наум. Сега затваряме скобите. И крайният отговор е приблизително 1200 долара. Действително, ако искаш абсолютна точност, то ще получиш малко по-малко от тази стойност, но ще бъде приблизително 1200 долара. Ето по този начин успяхме да намерим реалната месечна вноска от ипотеката. Следователно Р е равно на 1200 долара. Това беше наистина много нестандартен подход, за да намерим нещо, с което хората се сблъскват всеки ден. Сега обаче знаеш математиката, която стои зад него. Не е нужно да се занимаваш с някаква таблица или електронна такава, за да получиш размера на вноската.