Означаване със знак сигма на сумата на членове на геометрична прогресия

В последното видео видяхме, че една геометрична прогресия, или една геометрична редица, е просто редица, при която всеки следващ член е предходният, умножен по фиксирана стойност. Наричаме тази фиксирана стойност частно на прогресията. Например в тази прогресия тук всеки член е предходният, умножен по 2. 2 е частното на прогресията. Всяка ненулева стойност може да бъде частно на прогресията. То може дори да бъде отрицателна стойност. Например може да имаш геометрична прогресия, която изглежда така. Може да започва от 1 и частното на прогресията може да е например (минус 3). 1 по -3 е -3. -3 по -3 е 9. 9 по -3 е -27. След това -27 по -3 е 81. Като можеш да продължиш нататък. Нещото, на което искам да обърна внимание в това видео, е сумата на дадена геометрична прогресия или геометрична редица, като ще я наричаме сума на геометрична прогресия. Ще превъртя малко надолу. Ще говорим за сума на геометрична прогресия, което е наистина просто сумата от членовете на геометричната прогресия. Например една сума на геометрична прогресия ще бъде просто сумата на тази редица. Ако просто кажем 1 плюс (-3), плюс 9, плюс (-27), плюс 81, като продължим нататък и нататък, това ще бъде сума на геометричната прогресия. Можем да го направим с тази прогресия тук горе, просто за да изясним наистина какво правим. Ако кажем 3 плюс 6, плюс 12, плюс 24, плюс 48, това отново е сума на геометрична прогресия, просто сумата на геометричната редица или геометричната прогресия. Как ще представим това в общ вид, може би като използваме означението със сигма (Σ)? Ще започнем с първия член. Ту,к ако искаме да говорим общо, ще кажем, че 'а' е първият член. Ще започнем с първия член 'а' и след това всеки следващ член, който ще прибавяме, ще бъде 'а' по частното на прогресията. Като ще означим това частно с 'r'. Вторият член е аr. След това при третия член трябва просто да умножим този по r. Ще имаме а по r на квадрат. а по r на квадрат. След това продължаваме, плюс а по r на трета степен. Нека кажем, че имаме сума на крайна геометрична прогресия. Тя няма да продължава до безкрайност. Нека кажем, че тя продължава докато не стигнем до а по r на степен n. а по r на степен n. Как можем да представим това с означението за сума сигма (Σ)? Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да опиташ да го направиш самостоятелно. Можем да го разглеждаме по следния начин. Ще ти дам малка подсказка. Можеш да разглеждаш този член тук като а по r на степен 0. Нека го запиша. Това е а по r на степен 0. Това е а по r на първа, r на квадрат, r на трета и сега може да се сетиш за модела. Можем да напишем това като сумата, Σ, главна буква сигма ето тук. Можем да започнем нашия индекс от 0. Можем да кажем: при k = 0, чак до k = n, сумата (Σ) на (а по (r на степен k)). Използвайки означението със сигма (Σ), това е стандартен начин да представим сумата на една геометрична прогресия, където r е някакво ненулево частно на прогресията. То дори може да е отрицателна стойност.