Лице на равностранен триъгълник

Да кажем, че този триъгълник е равностранен, което означава, че всички негови страни имат еднаква дължина. И да кажем, че тази дължина е s. В това видео искам да намеря начин да определя лицето на този равностранен триъгълник като функция на s. За да направя това, просто ще разделя този равностранен триъгълник на две. Ще спусна височина от този горен връх. Тя ще е перпендикулярна на основата. И ще разполовява този горен ъгъл. Така че този ъгъл ще е равен на този ъгъл. И показахме всичко това във видеото, в което доказахме зависимостите между страните на триъгълник с ъгли 30-60-90. В един обикновен равностранен триъгълник всички ъгли са 60 градуса. Този тук ще е равен на 60 градуса, нека направя това в различен цвят. Този тук долу също ще е 60 градуса. Този тук долу ще е 60 градуса. И този тук горе е 60 градуса, но току-що го разделихме на две. Така че този ъгъл ще е 30 градуса. И този ъгъл също ще е 30 градуса. Другото нещо, което знаем, е, че тази височина тук ще разполови тази страна тук долу. Така че тази дължина е равна на тази дължина. И показахме всичко това малко по-подробно във видеото за триъгълник с ъгли 30-60-90. Но това ни казва, че ако цялата тази дължина беше s, понеже всички три страни ще са s, това е равностранен триъгълник, тогава всяко от тези части... тази част ето тук ще е s/2. И ако тази дължина е s/2, тогава можем да използваме онова, което знаем за триъгълници с ъгли 30-60-90, за да намерим тази страна тук. За да намерим височината. И причината да ме интересува височината е понеже лицето на един триъгълник е 1/2 от основата по височината. Това е s/2, най-късата страна. Страната, срещулежаща на 30-градусовия ъгъл, е s/2. Страната, срещулежаща на 60-градусовия ъгъл, ще е корен квадратен от 3 по това. Това ще е корен квадратен от 3s/2. И знаем това, понеже отношението на страните на триъгълник с ъгли 30-60-90, ако страната срещулежаща на 30-градусовия ъгъл е 1, тогава срещулежащата на 60-градусовия ъгъл страна ще е корен квадратен от 3 по това. А страната, срещулежаща на 90-градусовия ъгъл, или хипотенузата, ще е 2 по това. Тоест това е 1 към корен квадратен от 3 към 2. Това тук е най-късата страна. Това е страната, срещулежаща на 30-градусовия ъгъл. Страната, срещулежаща на 60-градусовия ъгъл, ще е корен квадратен от 3 по това. Тоест корен квадратен от 3, по s/2. Просто трябва да намерим какво е лицето на този триъгълник, като използваме, че лицето на триъгълника е равно на 1/2 от основата по височината на триъгълника. Каква е основата на триъгълника? Цялата основа на триъгълника тук е s. Това ще е s. Каква е височината на триъгълника? Току-що намерихме това. Тя е корен квадратен от 3 по s/2. И умножаваме това, а после в числителя получаваме корен квадратен от 3*1*s*s. Това е корен квадратен от 3 по s^2. А в знаменателя имаме 2*2. Всичко това върху 4. Например, ако имаш равностранен триъгълник, при който всяка от страните е 1, тогава лицето ще е корен квадратен от 3 върху 4. Ако имаш равностранен триъгълник, при който всяка от тези страни е 2, тогава това ще е 2^2/4, което е просто 1. Така че това ще остане само корен квадратен от 3. Току-що намерихме обобщен начин за намиране на лицето на равностранен триъгълник.