If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Синусова и косинусова теореми - преговор

Преговори синусовата и косинусовата теореми и ги използвай за решаването на задачи при всеки вид триъгълник.

Синусова теорема

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Косинусова теорема

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Искаш ли да научиш повече за синусовата теорема? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за косинусовата теорема? Виж това видео.

Упражнения 1: Задачи за решаване на произволен триъгълник със синусовата теорема

Тази теорема е полезна за намирането на неизвестен ъгъл, когато са известни един от ъглите и две от страните, или за намирането на неизвестна страна, когато имаме два известни ъгъла и една страна.

Пример 1: Намиране на неизвестна страна

Намери страната A, C в следния триъгълник:
Съгласно синусовата теорема, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:
ABsin(C)=ACsin(B)5sin(33)=ACsin(67)5sin(67)sin(33)=AC8,45AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Пример 2: Намиране на неизвестен ъгъл

Намери m, angle, A в следния триъгълник:
Съгласно синусовата теорема, start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:
BCsin(A)=ABsin(C)11sin(A)=5sin(25)11sin(25)=5sin(A)11sin(25)5=sin(A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Изчисляване с помощта на калкулатор и закръгляне:
m, angle, A, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Запомни, че, ако неизвестният ъгъл е тъп, трябва да вземем 180, degrees и да извадим каквото сме получили с калкулатора.
Задача 1.1
B, C, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Закръгли до най-близката десета.

Искаш ли да се опиташ да решиш други подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнения 2: Задачи за решаване на произволен триъгълник с косинусовата теорема

Тази теорема е полезна най-вече за намирането на мярка на ъгъл при известни дължини на всичките страни. Тя е полезна също така за намиране на неизвестната страна, когато другите страни и мярката на един от ъглите са известни.

Пример 1: Намиране на ъгъл

Намери m, angle, B в следния триъгълник:
Съгласно косинусовата теорема:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:
(5)2=(10)2+(6)22(10)(6)cos(B)25=100+36120cos(B)120cos(B)=111cos(B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Изчисляване с помощта на калкулатор и закръгляне:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

Пример 2: Намиране на неизвестна страна

Намери страната A, B в следния триъгълник:
Съгласно косинусовата теорема:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:
(AB)2=(5)2+(16)22(5)(16)cos(61)(AB)2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Задача 2.1
m, angle, A, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Закръгли до най-близкия градус.

Искаш ли да се опиташ да решиш други подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнения 3: Текстови задачи за решаване на произволен триъгълник

Задача 3.1
"Остава само един." Райън подава сигнал до брат си от своето скривалище.
Мат кима в знак на съгласие, защото е забелязал последния зъл робот.
"34 градуса." Мат подава обратно сигнал и информира Райън за ъгъла, който е забелязал между Райън и робота.
Райън записва тази стойност на своя чертеж (показан по-долу) и пресмята. Като калибрира лазерното си оръдие спрямо правилното разстояние, той се изправя, прицелва се и стреля.
На какво разстояние е калибрирал Райън лазерното си оръдие?
Не закръглявай при изчисленията си. Закръгли крайния си отговор до най-близкия метър.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, м, end text

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.