If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:04

Видео транскрипция

Опитах да начертая тук единична окръжност. Наричаме я "единична окръжност", защото има радиус 1. Тоест дължината от центъра до която и да е точка от окръжността е равна на 1. Какви ще са тези координати тук? Където окръжността се пресича с оста х? x ще е 1, а y ще е 0. А какви ще са координатите тук горе? Преместили сме се с 1 право нагоре от началото на координатната система. Следователно стойността на х е 0, а стойността на у е 1. Ами тук отзад? Тук стойността на х е минус 1. Придвижили сме се с 1 наляво, но не сме се местили нагоре или надолу, значи стойността на у е 0. Ами тук долу? Придвижили сме се с 1 право надолу, но не сме се движили по оста х, следователно х тук е 0, а у е -1. Готови сме с това, така че сега ще начертая един ъгъл. За да го начертая, ще създам условие за положителни ъгли. Първото (долното) рамо на ъгъла винаги чертаем по положителната част на оста х. Можем да си го представим като началното рамо на ъгъла – там, откъде започваме да го чертаем. И за да начертаем положителен ъгъл, ще начертаем второто (горното) рамо на този ъгъл в посока, обратна на часовниковата стрелка. Положителен ъгъл означава, че се движим обратно на часовниковата стрелка. Това е условие, което аз ще използвам и което по принцип се използва. Можеш да се досетиш, че отрицателен ъгъл ще се движи в посока по часовниковата стрелка. Нека начертая един положителен ъгъл. Може да изглежда така. Това е първото му рамо. После отивам в посока, обратна на часовниковата стрелка, докато измеря ъгъла си. Това е второто рамо. Така, това е положителен ъгъл 'тита'. Сега да помислим за тази пресечна точка – на второто рамо на ъгъла с единичната окръжност. Да кажем, че тя има координати (a;b). Стойността на х при пресечната точка е 'а', а стойността на у при пресечната точка е 'b'. Правя всичко това, за да видя как единичната окръжност може ни помогне да обогатим традиционните определения на тригонометричните функции. Сега искам да направя този ъгъл тита част от правоъгълен триъгълник. За да го направя, ще спусна височина ето тук – така че този ъгъл е 90 градуса. Така ъгъл тита е част от правоъгълен триъгълник. Да видим какво можем да открием за страните на този правоъгълен триъгълник. Първият ми въпрос към теб е: "Каква е дължината на хипотенузата в нашия правоъгълен триъгълник?" Хипотенузата е просто радиус в единичната окръжност. Единичната окръжност има радиус 1. Следователно хипотенузата има дължина 1. А каква е дължината на тази синя страна ето тук? Можем да я разглеждаме като срещулежаща страна за този ъгъл. Тази дължина е същата като координатата у на тази пресечна точка. Следователно тази дължина ще е равна на b – координатата у тук е b, тази дължина е b. И по същата логика, каква ще е дължината на основата на правоъгълния триъгълник? Това ще е координатата х на тази пресечна точка или това ще е с дължина 'а'. Дължината между началото на координатната система и тази точка ще е 'а'. Готови сме с това. И сега, какъв е косинусът на нашия ъгъл, като използваме а, b и всякакви други числа, които може да се появят. За да си го представим, ни трябват дефинициите на тригонометричните фунцкии. Само с тях разполагаме в момента и всъщност се опитваме да ги разширим. На английски дефинициите на тригонометричните функции са 'soh-cah-toa', Частта 'cah' е тази, която ни помага с косинусите. Тя ни казва, че косинусът на ъгъл (c от cah) е равен на дължината на прилежащата страна (а от cah) върху хипотенузата (h от cah). Какво се получава? За този триъгълник дължината на прилежащия катет е а, следователно косинус от тита е равен на а върху – колко е дължината на хипотенузата? Тя е просто 1. Тогава косинус от тита е равен на а. Нека запиша това отново. Косинус от тита е равен на а. Равен е на тази координата х, където второто рамо на ъгъла се пресича с единичната окръжност. Нека помислим за синус от тита. Ще направя това в оранжев цвят. Така, какъв ще е синусът на тита? Просто трябва да погледнем частта 'soh' от нашето 'soh-cah-toa'. Tя ни казва на какво е равен синусът (s) – на срещулежащия катет (о) към хипотенузата (h). Тук срещулежащият катет е b, а хипотенузата е с дължина 1. Следователно синус от тита е равно на b. Интересно! Това е точката, в която второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност. Можем да разгледаме това и така – 'а' е същото като косинус от тита, а 'b' е същото като синус от тита. Това е интересно, току-що използвахме дефинициите на тригонометричните функции. Сега можем ли някак да използваме това, за да разширим 'soh-cah-toa'? Защото 'soh-cah-toa' има един проблем. Работи чудесно при ъгъл по-голям от 0 градуса и по-малък от 90 градуса, тъй като винаги можем да го направим част от правоъгълен триъгълник. Но определението 'soh-cah-toa' не работи, когато ъгълът ни е 0, или отрицателен, или когато е по-голям или равен на 90 градуса. Няма правоъгълен триъгълник с два ъгъла от по 90 градуса в него. Определението ни спира да работи. Нека изясня. Това е правоъгълен триъгълник, значи този ъгъл тук е доста голям. Мога да направя ъгълa още по-голям и пак е правоъгълен триъгълник. И дори още по-голям, но никога не мога да стигна до 90 градуса. При 90 градуса вече нямам правоъгълен триъгълник и всичко се разпада. Какво става, когато имам ъгъл, по-голям от 90 градуса? Да видим дали можем да използваме това, което открихме преди малко. Нека съставим ново определение за тригонометричните функции, което ще е разширение на 'soh-cah-toa' и ще използва същата логика. Вместо да дефинираме косинус като прилежащ катет към хипотенуза в правоъгълен триъгълник; синус като срещулежащ към хипотенуза, а тангенс като срещулежащ към прилежащ, защо просто не кажа: "Мога да начертая всеки ъгъл в единичната окръжност, като използвам това условие, което току-що създадох." Тогава косинусът на този ъгъл ще е равен на координатата х на пресечната точка, където второто рамо на нашия ъгъл пресича единичната окръжност. Ще го запиша: "където второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност." И нека дефинираме синус от тита като координатата у, където второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност. Следователно за всеки ъгъл – тази точка ще определи косинус и синус от тита. А какво ще е добро определение за тангенс от тита? Тангенс от тита, дори чрез 'soh-cah-toa', може да се дефинира като "синус от тита върху косинус от тита". Което в този случай ще бъде просто координатата у, където пресичаме единичната окръжност, върху координатата х. В следващите няколко видеа ще ти покажа примери с единичната окръжност и ще започнем да изчисляваме тригонометрични отношения.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".