Доказателство на формулата за сума от първите n члена на аритметична прогресия чрез индукция

Ще дефинирам една функция S от n като сумата от всички цели положителни числа, включително n. Следователно дефиниционното множество на тази функция включва всички цели положителни числа. n следва да е цяло положително число. Може да проверим тази формула с няколко опита. Например S от 3 ще бъде равно на 1 плюс 2, плюс 3, което е равно на 6. Може да намерим S от 4, което ще бъде равно на 1, плюс 2, плюс 3, плюс 4, т.е. ще бъде равно на 10. Много лесно. В настоящия урок искам да докажа, че – като това може да се направи по няколко начина – ще запиша, че функцията S от n, тоест сумата от всички цели положителни числа, включително n, е равна на n по (n + 1), цялото върху 2. Начинът, по който ще го докажа, е чрез математическа индукция. Доказателство чрез математическа индукция. Това е много интересен метод за доказателство. Методът на индукцията представлява следното – първо се доказва основният случай – искаме да докажем ето това твърдение. (показва на екрана и го огражда) Първо ще го докажем за S от 1, т.е. това ще е нашият основен случай. След това ще приложим следващата стъпка на индукция. Това е все едно да кажем: "Да предположим, че това твърдение е изпълнено за някакво цяло положително число k". Допускаме това и после ще докажем, че е изпълнено за следващото цяло положително число (k + 1). Причината това да работи е следната. Нека да кажем, че ще докажем и двете твърдения. Основният случай ще докажем за числото 1. Но не е задължително основният случай винаги да е числото 1. Твърдението може да е вярно за всяко число, по-голямо от 55. Или за всички числа, по-големи от дадена стойност. В настоящия случай, обаче, заявяваме, че това е изпълнено за всички цели положителни числа. Основният случай ще бъде за числото 1. Тогава в стъпката с индукцията ще докажем, че ако предположим, че тази формула е вярна за някаква сума от k числа, то формулата ще бъде вярна и за сумата от (k + 1) числа. Причината това да е всичко, което е необходимо, за да го докажем за всички цели положителни числа, е следната. Нека да разгледаме всички цели положителни числа ето тук. 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.н. до безкрайност. Ще докажем, че твърдението е вярно за числото 1. Ще докажем, че ето тази формула тук, (показва формулата, оградена със зелено) т.е. този израз точно ето тук, е изпълнен за случая n равно на 1. След това ще докажем, че ако е вярно за произволно число k, то е вярно и за следващото число. Следователно, ако знаем, че това е изпълнено за числото 1, което е нашият основен случай, тогава във втората стъпка, т.е. стъпката на индукцията, трябва да е изпълнено за числото 2. Защото сме доказали, че ако е изпълнено за числото k, то ще бъде изпълнено и за (k + 1). Когато е вярно за 2, то следва да бъде вярно и за 3, защото сме доказали, че ако е вярно за k, то е вярно и за (k + 1). Тогава, ако е изпълнено за 2, то е изпълнено и за 3. А ако е изпълнено за 3, то ще бъде изпълнено и за 4. Може да продължаваш така до безкрайност, което означава, че е изпълнено за всички числа. Дотук говорихме много общо. Нека сега наистина да го докажем чрез индукция. Нека вземем числото 1 и го заместим във формулата. Това ще е равно на сумата от всички цели положителни числа, включително 1, т.е. действително ще е равно на 1. Току-що прибавихме всички тези числа, т.е. равно е просто на 1. Няма друго положително цяло число, което да прибавим до и включително числото 1. А сега може да докажем, че това е равно на същото нещо като 1 по (1 + 1), и всичко това върху 2. 1 плюс 1 е равно на 2, а 2 разделено на 2 е равно на 1. 1 по 1 е равно на 1. Следователно дефинираната формула тук, т.е. този израз, е верен за числото 1. Следователно сме доказали нашия основен случай. Доказахме го за числото 1. А сега ще предположа, че това е вярно за произволно число k. Правя предположение, че твърдението е изпълнено за някакво число k. Допускам, че за някакво число k дефинираната функция S(k) е равна на k по (k + 1), върху 2. Допускам, че това твърдение е вярно. Сега следва да разгледам какво се случва, когато искам да изчисля функцията за (k + 1). Това е моето допускане. Допускам, че това е вярно и го знам. Нека сега опитаме да го направим за k + 1. На какво е равна сумата от всички цели положителни числа до и включително (k + 1). Сумата ще бъде равна на 1 плюс 2, плюс 3, плюс всички числа до k, плюс (k + 1). Нали така? Това е равно на сумата от всички числа до и включително (k + 1). Допускаме, че вече знаем на какво е равно ето това. Допускаме, че вече имаме формула за това. Допускаме, че това ще се опрости до k по (k + 1), върху 2. Допускаме, че това е вярно. Тогава просто ще вземем този резултат и ще го прибавим към (k + 1). Тоест ще го прибавим към (k + 1) ето тук. Общият знаменател ще бъде равен на 2. Следователно този сбор ще бъде равен на... Първо ще запиша тази част в пурпурно. Равно е на k по (k + 1), върху 2, плюс 2 по (k + 1), върху 2. Това нещо в синьо е равно на ето това нещо в синьо. Тези двойки ще се съкратят, но просто го записах така, за да има общ знаменател. Следователно сборът ще бъде равен на следното. Имаме общ знаменател равен на 2, а това ще го запиша с различен цвят тук. Ще се получи k по (k + 1), плюс 2 по (k + 1). В тази стъпка можем да изнесем пред скоби (k + 1). Ето тези два члена се делят на (k + 1). Нека да го изнесем пред скоби. Ако изнесем (k + 1) пред скобите, то получаваме (k + 1) по това, което остава, след като разделим на (k + 1). Получаваме само k. Ето тук, ако изнесем (k + 1), то получаваме само 2. Нека да ги запиша с различни цветове, за да е по-ясно това, което правя. Тоест ето тази двойка и тази двойка тук. И това k е това k ето тук. Направихме разлагане. Тези членове (k + 1), които изнесохме, са ето това (k + 1) ето тук. Всичко това ще бъде върху знаменател 2. Сега може да го опростим. Равно е на следното. Това е равно на (k + 1) – т.е. ето тази част тук – по (k + 1) плюс 1. Нали така? Това определено е равно на същото като (k + 2). Всичко това е върху 2. Защо това е интересно за нас? Ами ние току-що го доказахме. Ако допуснем, че това твърдение е изпълнено, и ако използваме това предположение, то получаваме, че сумата от всички цели положителни числа до и включително (k + 1), е равна на (k + 1) по ((k + 1) плюс 1), върху 2. По същество показваме първоначалната формула, но приложена за числото (k + 1). Ако вземем (k + 1) и го заместим на мястото на n, то ще получим точно резултата, който получихме ето тук. И така доказахме нашия основен случай. Това равенство е изпълнено за всички цели положителни числа до и включително числото 1. Също по допускане е изпълнено и за всички числа до и включително числото k. Ако допуснем, че е изпълнено за цялото число k, то също така е изпълнено и за цялото число (k + 1). И сме готови. Това представлява доказателство чрез математическа индукция. Това доказва, че равенството е изпълнено за всички цели положителни числа. Защо това е вярно? Доказахме, че е изпълнено за числото 1 и доказахме, че ако е изпълнено за произволно цяло число, то ще бъде изпълнено и за следващото цяло число. Тоест, ако допуснем, че е вярно за числото 1, то ще е вярно и за числото 2. Вече доказахме, че е вярно за числото 1, т.е. може да допуснем, че е вярно за числото 1. Следователно, определено е вярно и за числото 2. Отбелязваме и числото 2. След като може обаче да допуснем, че е изпълнено за 2, то сега може да допуснем, че е изпълнено за 3. Е, ако е изпълнено за 3, то сега сме доказали, че е изпълнено и за 4. Сега вече виждаме, че тази стъпка с математическата индукция действа като домино, т.е. предава се на всяко следващо число и може да продължаваме така до безкрайност. Следователно е изпълнено за всички цели положителни числа.