Нека решим няколко примера, при които намираме сумите на
крайни геометрични прогресии. Нека си припомним предишното видео, където получихме формулата, при която
сумата от първите n на брой члена е равна на първия член по 1 минус частното на прогресията на степен n, цялото върху 1 минус частното на прогресията. Нека я приложим към тази сума на крайна геометрична прогресия ето тук. Какъв е първият член и какво е частното на прогресията? Колко е n? Можеш да го намериш и като разгледаш това тук, но заради този пример нека разложим това малко. Това ще бъде равно на 2 по 3 на степен 0, което е просто 2 плюс 2 по 3 на първа степен, плюс 2 по 3 на втора степен, мога да напиша там първа степен, плюс 2 по 3 на трета степен, като продължаваме чак до 2 по 3 на степен 99. Какъв е първият член? Колко е 'а'? 'а' ще бъде 2. Като ние го виждаме при всички тези членове тук. 'а' ще бъде 2. Колко е r? Когато k се увеличава с 1,
умножаваме всеки следващ член отново по 3. Следователно 3 е частното на прогресията. Това тук е r. Нека се уверя, че това е 'а'. Колко ще бъде n? Може да се изкушиш да кажеш, че тъй като стигаме до k = 99,
може би n е 99, но трябва да се сетим, че започваме
от k = 0. Следователно тук всъщност има 100 члена. Забележи, че когато k = 0, това е първият член, когато k = 1, това е вторият член, когато k = 2, това е третият член, когато k = 3, това е четвъртият член, когато k = 99, това е 100-ият член. Всъщност ние искаме да намерим S от 100. Нека го запишем, S от 100, за сумата на тази геометрична прогресия
ще бъде равно на 2 по (1 минус 3 на степен 100), цялото върху (1 минус 3). Като можем да го опростим.
Искам да кажа, че на този етап имаме работа със смятане, но тук долу ще имаме -2, така че трябва да разделим на -2, така че това е просто отрицателно. Имаме минус (1 минус 3 на степен 100), това е равно на 3 на степен 100, 3 на степен 100 минус 1. И сме готови.