If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:3:14

Записване на сумата на геометрична прогресия в сигма запис

Видео транскрипция

Имаме дадена сума от 2 плюс 6, плюс 18, плюс 54. Очевидно, може просто да я изчислим, като съберем дадените числа. Това, което искам да направя обаче, е да я използвам, за да я запиша като ред, представен, чрез понятието за сума сигма. Нека да помислим, какво се получава тук. Нека потърсим зависимост между всеки член и предходния. За да стигнем от 2 до 6, може да кажем, че прибавяме 4. Когато обаче стигаме от 6 до 18, сега не прибавяме 4, а 12. Следователно, дадената сума не е аритметична прогресия. Нека проверим, дали не е геометрична. Какво правим, за да стигнем от 2 до 6? Умножаваме числото 2 по 3. Нека го запиша. Умножаваме по 3. Какво правим, за да стигнем до 18? Отново умножаваме по 3. За да стигнем от 18 до 54, отново умножаваме по 3. Изглежда, че това наистина е геометрична прогресия. Имаме постоянна стойност на частното между членовете. Нека я запишем, чрез понятието за сума сигма. Получаваме сума от следното. Може да започнем по много различни начини. Може k да е равно на 0. Имаме първия член, който е равен на 2. Умножаваме 2 по частното, повдигнато на степен k. Тоест, по частното 3 на степен k. Преди въобще да запиша колко члена имаме тук, или докъде достига числото k, нека да проверим дали това е вярно. Когато k е равно на 0, ще се получи 2*3 на нулева степен. Тоест, 2*1. Което е първият член ето тук. Когато k e равно на 1, ще имаме 2*3 на степен 1. Получава се 6. Ето това е, когато k е равно на 0. Нека го запиша с различен цвят. Този член е за k равно на 0. Казах различен цвят, но го записах със същия. Добре, това е k равно на 0. Това е k равно на 1. Това е k равно на 2, а това следва да е k равно на 3, което ще бъде равно на 2*3 на степен 3. Тоест, 2*27, което действително е равно на 54. Следователно, достигаме до k равно на 3. Това е един от начините да представим сумата. Има и други начини, по които да се представи. Може да го запишем като следното. Отново имаме първия член тук, Но може, например да го запишем ето така. Ще използвам различен индекс. Нека това да е степен n минус 1. Вместо да започваме от 0, може да запиша, че n започва от 1. Забележи обаче, че ефектът е същият. Когато изберем n да е равно на 1, то в степента 1 минус 1 се получава 0. Следователно, увеличаваме броя на членовете с единица. Вместо да стигаме от 0 до 3, то стигаме от 1 до 4. Може да провериш, че това отново е вярно, защото, когато n е равно на 4, се получава 3 на степен 4 минус 1. Отново имаме 3 на степен 3, което е равно на 27*2, и отново се получава 54. Тогава, това е n равно на 1, това е n равно на 2, това е n равно на 3, а това е n равно на 4. Който и начин да избереш, и двата са възможни, за да представиш сумата чрез означението сигма.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".