Записване на сумата на геометрична прогресия в сигма запис

Дадена е сумата 2 плюс 6, плюс 18, плюс 54. Очевидно е, че можем просто да я изчислим, като съберем дадените числа. Но аз искам да използвам тази сума, за да упражним представянето на ред като този чрез знака за сумиране сигма. Нека да помислим какво се случва тук. Нека потърсим зависимост между всеки член и предходния на него. За да стигнем от 2 до 6, може да кажем, че прибавяме 4. Когато обаче отиваме от 6 на 18, не прибавяме 4, а 12. Следователно дадената сума не е сума от членовете на аритметична прогресия. Нека проверим дали това не са членове на геометрична прогресия. Какво правим, за да стигнем от 2 до 6? Умножаваме числото 2 по 3. Нека го запиша. Умножаваме по 3. Какво правим, за да стигнем до 18? Отново умножаваме по 3. За да стигнем от 18 до 54, отново умножаваме по 3. Изглежда, че това наистина е геометричен ред. Имаме постоянна стойност на частното между членовете. Нека да използваме знака за сума сигма. Това е сума от следното – можем да започнем по много различни начини. Може да започнем с k равно на 0. Имаме първия член, който е равен на 2. Умножаваме 2 по частното, повдигнато на степен k. Тоест, по частното 3 на степен k. Преди въобще да запиша колко члена имаме тук или докъде достига числото k, нека да проверим дали това е вярно. Когато k е равно на 0, ще се получи 2 по 3 на нулева степен. Тоест 2 по 1. Това е първият член ето тук. Когато k e равно на 1, ще имаме 2 по 3 на степен 1. Получава се 6. Това е случаят, когато k е равно на 0. Ще го запиша с различен цвят. Този член се получава при k равно на 0. Казах че ще сменя цвета, но го записах със същия. Добре, това е за k равно на 0. Това е за k равно на 1. Това е за k равно на 2, а това следва да е за k равно на 3. Този член ще бъде равен на 2 по 3 на степен 3. Тоест това е 2 по 27, което действително е равно на 54. Следователно достигаме до k равно на 3. Това е един от начините да представим сумата. Има и други начини, по които да се представи. Може да го запишем като следното. Отново имаме първия член тук. Но може, например, да го запишем ето така. Сега ще използвам различен индекс. Нека това да е на степен (n – 1). Вместо да започваме от 0, може да запиша, че n започва от 1. Забележи обаче, че ефектът е същият. Когато изберем n да е равно на 1, то в степенния показател 1 минус 1 дава нула. Следователно увеличаваме индексите с единица. Вместо да са от 0 до 3, сега са от 1 до 4. Може да провериш, че това отново е вярно, защото за n равно на 4 се получава 3 на степен 4 минус 1. Отново имаме 3 на степен 3, което е равно на 27 по 2, и отново се получава 54. Тогава това е n равно на 1, това е n равно на 2, това е n равно на 3, а това е n равно на 4. Който и начин да избереш, и двата са допустими, за да представиш сумата чрез означението сигма.