Въведение към геометрично разпределени случайни променливи

Тук имаме две различни случайни величини и искам да помисля за това точно какъв вид случайни величини са те. Тази първа променлива X е равна на броя шестици след 12 хвърляния на нормален зар. Това прилича точно на биномна случайна поменлива. Всъщност аз съм доста уверен, че е такава и може просто да я отбележим Резултатът от всеки опит може да бъде успех или неуспех Вписваме резултат от опит – успех или неуспех Изходът е едно от двете. Резултатът от всеки опит е независим от другия. Дали ще получа 6 на третия опит не зависи от това дали ще получа 6 на първия или втория си опит. Като резултат ще напиша:"Независими резултати" Има фиксиран брой опити. В този случай броят им ще бъде 12. Последно имаме еднаква вероятност за всеки опит. Еднаква вероятност за успех на всеки опит. Това отговаря на всички условия за биномна случайна величина. Това е преговор на нещата, за които сме говорили в други видеа. Ами това с червеникавия цвят? Променливата Y. Това показва броя хвърляния, докато получим шестица с нормален зар. Това е малко по-различно. Нека да видим къде точно е разликата. Отговаря ли на условията, на това да е ясен резултатът – успех или неуспех? Продължаваме да хвърляме зара. Всяко хвърляне е опит. Успех е, когато хвърлим шестица. Неуспех е, когато хвърлим нещо различно от шестица. Резултатът от всеки опит може да бъде определен като успех или неуспех. Ето тук това отговаря на първото условие. Второто условие – резултатите от всяко хвърляне да бъдат независими. Дали съм получил 6 при първото си хвърляне или на второто или на третото, няма значение точно кое, вероятностите не би трябвало да зависят от това дали съм получил шестица на предишното хвърляне. Имаме независимост и също така имаме еднаква вероятност за всеки опит. Във всеки случай вероятността да хвърля 6 е точно 1/6 и това е константно. И пропуснах третото условие нарочно. Защото очевидно нямаме фиксиран брой опити. Тук можем да хвърлим 50 пъти, докато получим шестица. Вероятността да ни се наложи да хвърлим чак 50, за да получим 6, пъти е доста ниска Може дори да ни се наложи да хвърлим 500 пъти, за да получим шестица. Всъщност замисли се за минималната и максималната стойности, които може да приеме Y На колко е равна минималната стойност, която тази случайна величина може да приеме? Да я наречем min Y Ще отнеме поне едно хвърляне. Значи това 1 е минималната стойност на Y Но каква е максималната ѝ стойност? Помисли за това. Спри видеото на пауза, за да помислиш. Отговорът е, че няма такава стойност. Не може да кажеш: "О, това е един милиард " Защото това е същата вероятност, която може да отнеме милиард и едно хвърляния Това е много, много, много, много малка вероятност. Това е изключително малка вероятност, но тя съществува. Може да отнеме и трилиони, трилиарди хвърляния. Може да си представиш накъде отивам с това. Това е вид случайна величина, която изпълнява много от условията на биномна случайна величина. Всеки опит има ясна вероятност за успех. Вероятността за успех е константна (еднаква) за всеки опит. Резултатите от опитите са независими един от друг. Но нямаме фиксиран брой опити. Всъщност тук ние казваме "Колко опита ни трябват докато получим успешен опит?" Това е общият случай за оформяне на такъв вид случайна величина Колко опита е нужно да направим, докато стигнем до успешен опит? Докато биномната случайна величина беше "Колко опита" или "Колко успеха в краен брой опити". Като разгледаме тази обща формулировка и условията са изпълнени, можем да сме спокойни, че това действително е биномна случайна величина. Ако тези условия са изпълнени: ясен резултат (дали е успех или неуспех), независими опити, константна вероятност, но ние не говорим за броя на успешните опити при краен брой опити, а говорим за това колко опита ни трябват, докато стигнем до успешен опит? Тогава този вид променлива се нарича геометрична случайна величина. Ще разберем защо се казва "геометрична" в предстоящи клипове. Математиката, която включва вероятностите за различни резултати, прилича на геометричен растеж, или на геометрична прогресия или геометричен ред, които срещаме в други клонове на математиката. В случай, че съм забравил да спомена, причината, поради която се наричат биномни случайни величини, е, че когато вземем вероятностите на различните резултати, имаме тези неща, наречени биномни коефициенти, базирани на комбинаториката. Срещаме ги например при Триъгълника на Паскал и когато повдигаме бином на нарастваща степен. Оттам идват тези термини. В следващите няколко видеа важното е да се научим да правим разликата между двете. Тогава ще започнем да мислим за това как да работим с геометрични случайни величини.