Закон на Бенфорд (с Ви Харт, 2 от 2)

САЛ: В последното видео приключихме там, където Ви и аз ти показахме една мистерия. Говорихме за Закона на Бенфорд. ВИ: И попитахме какво се случва при закона на Бенфорд? САЛ: Тази идея, че ако вземеш случайни държави и техните населения, и вземеш най-значимата цифра в населенията им и ги поставиш на графика, най-значимата цифра е 1, а не 2, нито 3, много по-вероятно е това да е 1. Ако вземеш физическите константи на Вселената, най-вероятно е да имат 1 за най-значима цифра. ВИ: Иска ми се да имахме повече графики, понеже графиките са забавни. САЛ: Да. ВИ: Но ако погледнеш информацията от стоковия пазар или нещо друго, какво се случва там? САЛ: Да. Изглежда всички следват тази крива. И това беше изключително мистериозно – и тук приключихме в последното видео – че ако погледнеш някой първичен случай, като например редицата на Фибоначи или степени на 2, това точно съвпада с разпределението на Бенфорд. Точно съвпада с това. Ако вземеш всички степени на 2, малко над 30% от тези степени на 2, всички степени на 2 имат 1 за най-значима цифра. Какво е това? 17? Приблизително 17% от всички тези имат 2 за най-значима цифра. ВИ: Да. Въпреки че в този случай има безкраен брой във всяко множество, така че е по-трудно да се направи графика. САЛ: Но ако искаш да изпробваш това, можеш да вземеш първите милион степени на 2 и после да намериш процента. И това вероятно ще ти даде доста добра приблизителна стойност за нещата. ВИ: Да. За мен това е по-малко мистериозно. От една страна, това точно съвпада с математиката. Но също така ти дава доста добра представа, понеже осъзнаваш, че тук има нещо, което мога реално да разгледам. САЛ: Можеш да разгледаш това и то става нещо, което можеш да разровиш по-надълбоко. И в последното видео казахме, че искаме да спреш и да помислиш защо се случва това, понеже, честно казано, трябваше да направим същото нещо. И една голяма насока за нас беше, когато разгледахме една логаритмична скала. И гледаме една такава ето тук. Да поясним, тук при тази логаритмична скала виждаш равни пространства и те са степени на 10. На една линейна скала, това би било 1. Може би това би било 2, а после това 3. Или, ако искахме да кажем, че това е 2, тогава щеше да кажеш, че това е 1, това е 10, това щеше да е 20, после това щеше да е 30 и така нататък. Но при логаритмична скала равните разстояния са по 10 или, в този случай, взимаме степени на 10. Това е 1:10, после 10:100, после 100:1000. Виждаш как числата помежду им изпадат, че разстоянието между 1 и 2 е доста голямо. После между 2 и 3 също е доста голямо, но малко по-малко. После между 3 и 4 става по-малко и по-малко, и по-малко, докато не стигнеш до 10. Това е доста добра насока за това, което се случва при закона на Бенфорд. ВИ: Да. Изглежда някак съвпада. Така че има връзка. САЛ: Всъщност се оказва – и това всъщност е доста голяма насока – че това, ако вземеш тази площ тук като процент от тази цялата площ, това е точно този процент. Това е точно този процент тук. Ако вземеш тази площ като процент от цялата площ, тя е точно този процент, тези приблизително 17%, или каквото е това число ето тук. Така че това е голяма подсказка. ВИ: Да, или поне за степени на 2, или за редицата на Фибоначи – за степени, определено е логична. САЛ: Да, за всички степени. Така че логиката е – и това сега е най-голямата ни насока – да направим графика на степените на 2 на една такава логаритмична скала. ВИ: Добре, нека видим къде попадат. САЛ: Добре, нека се пробваме. 2 на степен 0 е 1. 2 на степен 1 е 2. После стигаш до 4. После стигаш до 8. После стигаш до 16, което ще е някъде тук. После стигаш до 32, което ще е някъде тук. Това е 30, следователно това е 32. После стигаш до 64. Това е 40, 50, 60. 64 ще е ето тук. Когато поставиш степените на 2 на тази логаритмична скала, виждаш, че са на равно разстояние. Продължаваш по това. Ако ги поставиш на линейната скала, те се отдалечават повече и повече. ВИ: Да. САЛ: Всъщност всеки път са двойно по-далеч. Но на тази скала ето тук са на равно разстояние. Тук имаш нещо, което е на равно намаляващо разстояние. Можеш да си представиш, че е все едно вървим по това. И ако тротоарът е с формата на тази логаритмична скала, вероятността при всяко дадено стъпало, докато правиш много, много стъпки или докато броиш всички стъпки, тогава ще имаш много, много повече стъпки, които попадат в частта, която е между 1 и 2, или между 10 и 20, отколкото ще имаш при, например, частта между 9 и 10. ВИ: Да, ако вземеш една случайна точка, по-вероятно е да попаднеш в област, започваща с 1. САЛ: Да, една от тези области. Точно, започваща с 1, тоест, между 1 и 2 или 10 и 20. Или 100 и – и това е точно – ВИ: Правенето на равни стъпки ще ти даде това разпределение, освен ако стъпките не са – понеже има специални случаи. Ако имаш – САЛ: Или хората вървят логаритмично. [СМЯХ] ВИ: Да, ако вървиш от 1 до 10, ако стъпките ти са дълги по 10 – САЛ: Да. В специални случаи. ВИ: Това се случва тук. САЛ: Ако стъпките ти са дълги по 10 – ВИ – Стигаш точно... САЛ: Точно така. Но ако си – всяко малко отклонение от това нещо и тогава ще получиш разпределението. ВИ: Да. САЛ: Разпределението на Бенфорд. ВИ: Разпределението на Бенфорд. САЛ: Въпреки че мисля, че сега разбираме защо, все пак е удивително. ВИ: Да. Това ни обяснява нещата за тези числови редици. САЛ: Да. ВИ: Сега някак трябва да открием как да свържем това с информацията от реалния свят. САЛ: Основната идея... за населенията. И прочетохме малко за това. Разпределението на Бенфорд работи за неща, които нарастват експоненциално. ВИ: Да. САЛ: Като степени на 2. ВИ: Като степени на 2. САЛ: Като степени на 2. Населенията също нарастват експоненциално. ВИ: Да. И във финансите много неща нарастват експоненциално. САЛ: Да. Или намаляват експоненциално. И двата случая. [СМЯХ] САЛ: Но това работи експоненциално. Продължаваш да нарастваш с 10% всяка година. Това е експоненциален път. Удивителното нещо са физическите константи. И не сме на 100% сигурни защо се случва това. ВИ: Не. За мен това все още е лудост. САЛ: Имаме само теории. Цялостната идея – понеже, знаеш, физическите константи са зависими от мерните единици, с които работиш. Те са зависими от множество неща. Всъщност имам няколко много широки теории. Но ще те оставя да помислиш повече върху това. ВИ: Добре. САЛ: Добре. И се надявам, че това ти беше интересно.