Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Логаритми: въведение

Какво е логаритъм и как се пресмята. 

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Би трябвало да си запознат/а със степените, за предпочитане включително степени със степенен показател отрицателно число.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш какво е логаритъм и как се пресмята. След това ще си добре подготвен/а за работа с логаритмични изрази и функции.

Какво е логаритъм?

Логаритмите са друг начин за представяне на степените.
Знаем например, че 2 повдигнато на 4-та степен е равно на 16. Това може да се изрази чрез логаритми (в логаритмична форма) посредством следното равенство: 24=16.
Сега да предположим, че някой ни пита: "2 повдигнато на коя степен е равно на 16?" Отговорът ще бъде 4. Това се изразява чрез логаритмичното равенство log2(16)=4, което се чете като "логаритъм от шестнадесет с основа две е четири".
24=16log2(16)=4
Двете равенства описват една и съща връзка между числата 2, 4 и 16, където 2 е основата, а 4 е степенният показател.
Разликата между двата начина на представяне е, че при запис в експоненциална форма в резултат получаваме самата степен – 16, а при запис в логаритмична форма в резултат получаваме степенния показател – 4.
Ето още примери за еквивалентни равенства, записани в логаритмична и експоненциална форма.
Логаритмична формаЕкспоненциална форма
log2(8)=323=8
log3(81)=434=81
log5(25)=252=25

Определение за логаритъм

Обобщаването на горните примери на води до официалното определение за логаритъм.
logb(a)=cbc=a
Двете равенства описват една и съща връзка между a, b и c:
  • b е основата,
  • c е степенният показател, а
  • a се нарича аргумент.

Полезна забележка

Когато преобразуваш равенство, съдържащо степени, в логаритмичен вид, или логаритмично равенство във вид със степени, полезно е да помниш, че основата на логаритъма е същата като основата на степента.

Провери знанията си

Преобразувай следните равенства в равенства със степени и равенства с логаритми.
Задача 1
Кой от следните изрази е еквивалентен на израза 25=32?
Избери един отговор:

Задача 2
Кой от следните изрази е еквивалентен на израза 53=125?
Избери един отговор:

Задача 3
Представи израза log2(64)=6 като израз, съдържащ степени.

Задача 4
4) Представи log4(16)=2 като израз, съдържащ степени.

Пресмятане на логаритми

Чудесно! Сега, когато разбираме връзката между изрази със степени и изрази с логаритми, нека да видим дали можем да пресмятаме логаритми.
Например нека пресметнем log4(64).
Нека започнем, като кажем, че този израз е равен на x.
log4(64)=x
Ако запишем това като равенство със степени, получаваме следното:
4x=64
4 на коя степен е 64? 43=64, тоест log4(64)=3.
Като придобиеш повече практика, може да започнеш да съкращаваш някои от тези стъпки и да пресмяташ log4(64) просто като се запиташ: "4 на коя степен е 64?"

Провери знанията си

Помни, когато пресмяташ logb(a), можеш да се запиташ: "b на коя степен е a?"
Задача 5
log6(36)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача 6
log3(27)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача 7
log4(4)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача 8
log5(1)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача с повишена трудност
log3(19)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Ограничения на променливите

logb(a) е дефиниран, когато основата b е положителна – и не е равна на 1 – и аргументът a е положителен. Тези ограничения са резултат от връзката между логаритми и степени.
ОграничениеПричина
b>0В една показателна функция основата b винаги се дефинира като положителна.
a>0logb(a)=c означава, че bc=a. Понеже едно положително число, повдигнато на която и да е степен, е положително, това означава, че bc>0, следва, че a>0.
b1За момент предположи, че b може да е 1. Сега помисли върху уравнението log1(3)=x. Еквивалентният му вид, съдържащ степени, би бил 1x=3. Но това никога не може да бъде вярно, тъй като 1 на която и да е степен е винаги 1. Оттам следва, че b1.

Специални логаритми

Докато основата на един логаритъм може да има много различни стойности, има две основи, които се използват по-често от другите.
По-специално, повечето калкулатори имат бутони само за тези два вида логаритми. Нека ги разгледаме.

Десетичен логаритъм

Десетичният логаритъм е логаритъм, чиято основа е 10 ("логаритъм с основа 10").
Когато записваме тези логаритми математически, ние пропускаме основата. Подразбира се, че тя е 10.
log10(x)=log(x) Забележка: В САЩ логаритъм от x с основа 10 се записва като "log x", а у нас - като "lg x".

Естествен логаритъм

Естественият логаритъм е логаритъм, чиято основа е числото e ("логаритъм с основа e").
Вместо да записваме основата като e, обозначаваме логаритъма с ln.
loge(x)=ln(x)
Тази таблица обобщава това, което трябва да знаем за тези два вида специални логаритми:
ИмеОсноваОбикновено обозначаванеСпециално обозначаване
Десетичен логаритъм10log10(x)log(x)
Естествен логаритъмeloge(x)ln(x)
Въпреки че начинът на записване е различен, начинът, по който пресмятаме тези логаритми, е абсолютно същият!

Защо изучаваме логаритми?

Както току-що научи, логаритмите са обратното на степените. Ето защо те са полезни за решаването на показателни уравнения.
Например решението на показателното уравнение 2x=5 може да бъде дадено като логаритъм, x=log2(5). Ще научиш как да пресмяташ този логаритмичен израз в следващите уроци.
Логаритмичните изрази и функции също се оказва, че са много интересни сами по-себе си и всъщност са много често срещани в света около нас. Например много физични феномени се измерват с помощта на логаритмични скали.

Какво следва?

Ще учим за свойствата на логаритмите, които ни помагат да преработваме логаритмичните изрази, и за правилото за промяна на основата, което ни помага да пресметнем всеки алгоритъм, който искаме, като използваме калкулатор.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.