If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Общообразователна подготовка

Раздел 2: Урок 1

Логаритъм. Въведение

Въведение към правилото за смяна на основата на логаритмите

Научи как може да се преобразува всеки логаритъм с използване на логаритми с различни основи. Това е много полезно при изчисляването на логаритми с калкулатор!
Да предположим, че искаме да намерим стойността на израза log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Тъй като 50 не е рационална степен на 2, ще е трудно да го изчислим без помощта на калкулатор.
Обаче с повечето калкулатори могат да се изчислят само логаритми с основа 10 или основа e. Така че, за да намерим стойността на log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, трябва първо да сменим основата на логаритъма.

Свойство за смяна на основата

Можем да сменим основата на всеки логаритъм, като използваме следното свойство на логаритмите:
Забележка:
  • Когато използваш това свойство, можеш да смениш основата на логаритъма с произволна друга основа start color #0d923f, x, end color #0d923f.
  • Както винаги, аргументите на логаритмите трябва да бъдат положителни, а основите на логаритмите трябва да са положителни и различни от 1, за да важи това правило!

Пример: Изчисляване на log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Ако целта е да намерим стойността на даден логаритъм, го преобразуваме в логаритъм с основа 10 или e, тъй като тези логаритми могат да бъдат изчислени с повечето калкулатори.
Нека сменим основата на log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis с start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
За да го направим, прилагаме правилото за смяна на основата за b, equals, 2, a, equals, 50 и x, equals, 10.
log2(50)=log10(50)log10(2)Правило за смяна на основата=log(50)log(2)В САЩ log10(x)=log(x),а у нас на lg(х)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&{\gray{\text{Правило за смяна на основата}}} \\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{В САЩ } \log_{10}(x)=\log(x),а~у~нас~на~lg(х)}} \end{aligned}
Сега можем да намерим стойността, като използваме калкулатора.
start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, approximately equals, 5, comma, 644

Провери знанията си

Задача 1
Изчисли log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Закръгли отговора до най-близката хилядна.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 2
Изчисли log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 3
Изчисли log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Доказване на правилото за смяна на основата

На този етап може би си мислиш: "Чудесно, но защо това правило върши работа?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction
Първо да разгледаме един конкретен пример. Като използваме горния пример, искаме да докажем, че log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
Да означим като n стойността на log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. С други думи log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n. От определението за логаритъм следва, че 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50. Сега можем да извършим поредица от действия от двете страни на равенството, така че то да се запази:
2n=50log(2n)=log(50)Ако A=B, тогава log(A)=log(B)nlog(2)=log(50)Правило за логаритмуване на степениn=log(50)log(2)Разделяме двете страни наlog(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log(2^n) &= \log(50)&&{\gray{\text{Ако }A=B\text{, тогава }\log(A)=\log(B)}} \\\\ n\log(2)&=\log(50)&&{\gray{\text{Правило за логаритмуване на степени}}} \\\\ n &= \dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Разделяме двете страни на} \log(2)}} \end{aligned}
Тъй като дефинирахме n да е равно на log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, получаваме log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, точно както искахме!
По същата логика можем да докажем правилото за смяна на основата. Просто заместваме 2 с b, 50 с a и избираме произволна основа x като новата ни основа, и получаваме доказателството!

Задачи с повишена трудност

Задача с повишена трудност 1
Изчислиstart fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction без да използваш калкулатор. Забележка: В САЩ логаритъм от а с основа 10 се записва като "log a", а у нас - като "lg а".
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача с повишена трудност 2
Кой израз е еквивалентен на log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis?
Избери един отговор:
Избери един отговор: