Доказване на правилото за смяна на основата на логаритми

В това видео искам да докажа формулата за смяна на основата при логаритмите, която ни показва – нека го напиша. Която ни показва, че ако искаме да намерим логаритъм от х при основа а, мога да го направя като имам логаритми с различна основа. Това ще бъде равно на логаритъм при основа b – някаква друга основа – логаритъм от х при основа b, делено на логаритъм от а при основа b. Като това е един наистина полезен резултат, ако калкулаторът ти има само естествен логаритъм или логаритъм при основа 10, можеш да използваш формулата, за да намериш логаритъм при която и да е основа. Ако искаш да намериш логаритъм при основа 2 – нека го изясня. Ако искаш да намериш колко е логаритъм от 25 при основа 3, можеш да използваш калкулатора си за логаритъм при основа 10 или логаритъм при основа 2. Така че можеш да кажеш, че това ще бъде равно на логаритъм от 25 при основа 10 – като повечето калкулатори имат бутон за това нещо – делено на логаритъм от 3 при основа 10. Това е приложението на формулата за смяна на основата. Но нека всъщност я докажем. Нека кажем, че искаме – нека имаме логаритъм от х при основа а да е равно на някаква нова променлива. Нека наречем тази променлива 'у'. Това тук го слагаме просто да е равно на у. Това е просто друг начин да кажем, че а на степен у е равно на х. Можем да го напишем като а на степен у е равно на х. Ще напиша х тук, защото ще – тези две неща са равни. Това е просто друг начин да заявим отново същото, което току-що написахме тук горе. Нека въведем сега логаритъм при основа b. За да го въведа, трябва просто да взема логаритъм при основа b от двете страни на уравнението. Нека сложим логаритъм при основа b от лявата страна и логаритъм при основа b от дясната страна. От свойствата на логаритмите знаем, че логаритъм от нещо на степен е точно същото като степента по логаритъма от това нещо. Логаритъм от а при основа b на степен у е същото като у по логаритъм от а при основа b. Това е просто традиционно логаритмично свойство. Доказвали сме го преди. Вече знаем, че това ще бъде равно на дясната страна. То ще бъде равно на логаритъм от х при основа b. Сега нека просто намерим колко е у. Това е вълнуващо, защото у беше това нещо тук. Но сега ако търсим у, ще го намерим по отношение на логаритъм при основа b. За да намерим у, трябва само да разделим двете страни на това уравнение на логаритъм от а при основа b. Разделяме на логаритъм от а при основа b от лявата страна и разделяме на логаритъм от а при основа b от дясната страна. От лявата страна тези двете ще се съкратят. И оставаме с – сега заслужаваме аплодисменти – получаваме у е равно на логаритъм от х при основа b, делено на логаритъм от а при основа b. Нека го запиша. Просто ще го копирам, за да не трябва да сменям цветовете. Ще го поставя тук. Ето, че го получихме. Имаме формулата за смяна на основата. Не забравяй, че у е същото като това нещо тук. у е логаритъм от а. Всъщност нека го изясня. Имаме у, което е равно на логаритъм от х при основа а – така че ще го копирам – у, което е равно на това нещо, което е начинът, по който го определихме ето тук – у е равно на логаритъм от х при основа а. Току-що показахме, че е също равно и на това, ако го напишем с основа b. И получаваме формулата за смяна на основата.