Изчисляване на логаритми (за напреднали)

Нека направим още малко упражнения върху логаритми. Малко преговор: нека изчислим логаритъм от 8 при основа 2. На колко е равно това? От нас се иска да изчислим степента, на която трябва да повдигнем основата – степента, на която трябва да повдигна 2, за да получим 8. Така, 2 на първа степен е 2, 2 на втора степен е 4, 2 на трета степен е 8. Следователно отговорът ще бъде 3. Добре, вече решихме достатъчно примери като този в предишното видео. Нека направим нещо малко-по интересно... Колко е – ще го направя в цвят – колко е логаритъм от 2 при основа 8? Това вече е интересно. Ще ти дам няколко секунди да помислиш. Така, пита се каква е степента, на която трябва да повдигнем 8, за да получим 2. Нека помислим за това по друг начин. Питаме 8 на каква степен (х) – и тази степен, на която повдигам 8, е всъщност стойността на този логаритъм. 8 на някаква степен ще е равно на 2. Ако 2 на трета степен е 8, то 8 на степен 1/3 е равно на 2. Тоест x = 1/3 (една трета). 8 на степен 1/3 е равно на 2. Или може да се каже, че кубичен корен от 8 е 2. Така че в този случай х е 1/3. Този логаритъм тук е равен на 1/3. Страхотно! Нека усложним малко нещата. Да кажем, че имаме логаритъм при основа 2, но вместо 8 нека сложим 1/8 тук. Давам ти няколко секунди да помислиш. Добре, задачата ни тук е да намерим степента, на която трябва да повдигнем 2, за да получим 1/8. Ако кажем, че това е равно на x, всъщност казваме, че 2 на степен x е равно на 1/8. Добре, знаем че 2 на трета степен – нека запиша това – вече знаем, че 2 на трета степен е равно на 8. Ако искаме да получим 1/8, което е реципрочната стойност на 8, просто трябва да повдигнем на степен (-3). 2 на степен -3 е (1 върху 2^3), което е същото като 1/8. Тоест ако се питаме: ''на каква степен трябва да повдигнем 2, за да получим 1/8'', тогава трябва да повдигнем степен -3. Следователно х = -3. Този логаритъм е равен на -3. Сега нека се забъркаме НАИСТИНА дълбоко. На колко ще бъде равен логаритъм от 1/2 при основа 8? На колко е равно това? Изчиствам тук, за да освободя малко място. Така, както обикновено, си задаваме въпроса: ''На каква степен трябва да повдигна 8, за да получа 1/2?'' Нека помислим. Вече знаем, че 8 на степен 1/3 е равно на 2. Ако искаме реципрочната стойност на 2, трябва просто да повдигнем 8 на степен -1/3. Нека запиша: 8 на степен -1/3 е равно на 1 върху 8 на степен 1/3. И както вече знаем, кубичен корен от 8 (или 8 на степен 1/3) е равен на 2, това е 1/2. Така, логаритъм от 1/2 при основа 8 е равно на колко? Степента, на която трябва да повдигнем 8, за да получим 1/2, е -1/3. Надявам се да ти хареса, колкото и на мен!