Построяване на графиката на прости логаритмични функции

От нас искат: "начертай графиката на у, равно на логаритъм от х при основа 5." И просто за да си припомним какво означава това – това казва, че у е равно на степента, на която трябва да повдигна 5, за да получа х. Или, ако трябваше да запиша това логаритмично уравнение като експоненциално уравнение, 5 е основата ми, у е степента, на която трябва да повдигна основата си, а после х е това, което получавам, когато повдигна 5 на степен у. Друг начин да запишем това уравнение би бил 5^у=х (5 на степен у е равно на х). Тези двете са едно и също нещо. Тук имаме у като функция на х. Тук имаме х като функция на у. Но и двете казват едно и също нещо – повдигни 5 на степен у, за да получиш х. Когато го поставиш като логаритъм, питаш на каква степен трябва да повдигна 5, за да получа х. Трябва да го повдигна на степен у. Какво получавам, когато повдигна 5 на степен у? Получавам х. Като изяснихме това, нека си начертаем малка таблица, която можем да използваме, за да поставим някои точки, а после можем да свържем точките, за да видим как изглежда тази графика. Нека избера някои стойности на х и у. Като цяло искаме да изберем някои числа, които ни дават цели отговори; стандартни числа, с които да работим, така че да не трябва да вадим калкулатора. Като цяло искаш да избираш стойности на х, където степента, на която трябва да повдигнеш 5, за да получиш тази стойност на х, е някакво очевидно число. Или, друг начин да помислим върху това е, можеш да помислиш за различните стойности на у, на които искаш да повдигнеш 5, а после можеш да получиш стойностите на х. Така че всъщност ще мислим върху това, за да намерим стойностите на х. Но искаме да е ясно, че когато го изразим по този начин, независимата променлива е х, а зависимата променлива е у. Можем просто да погледнем това, за да изберем някои стойности на х, които ще ни дадат ясни отговори за у. Тук ще сложа стойности първо за у, просто за да получим хубави стойности на х. Да кажем, че ще повдигнем 5 на степен – ще избера някои нови цветове – степен -2 – и нека взема някои други цветове, -1, 0, 1. Ще направя още едно – и 2. Отново, това е малко нетрадиционно – да слагам стойности за зависимата променлива най-напред. Но начинът, по който го записах, така при дадена зависимата променлива е лесно да открием каква трябва да е независимата променлива за тази логаритмична функция. Кое х ми дава у = -2? Кое х ми дава – колко трябва да е х, за да може у = -2? 5^(-2) ще е равно на х. А 5^(-2) е 1/25. Така че получаваме 1/25. Ако се върнем до предишното, ако кажем логаритъм от 1/25 при основа 5, на каква степен трябва да повдигна 5, за да получа 1/25? Ще трябва да го повдигна на степен (-2). Или можеш да кажеш, че 5^(-2) е равно на 1/25. Тези казват едно и също нещо. Нека направим друг пример. Какво се случва, когато повдигна 5 на степен (-1)? Получавам 1/5. Ако се върнем към това първоначалното, просто казваме "логаритъм от 1/5 при основа 5." Трябва да се внимава. Това ни пита на каква степен трябва да повдигнем 5, за да получим 1/5. Ще трябва да го повдигнем на степен (-1). Какво се случва, когато взема 5^0? Получавам 1. Това е същото нещо като да кажем "логаритъм от 1 при основа 5". На каква степен трябва да повдигна 5, за да получа 1? Трябва да го повдигна на степен 0. Нека направим следващите две. Какво се случва, когато повдигна 5 на първа степен? Получавам 5, така че ако погледнеш тук, това просто ни пита на каква степен трябва да повдигнем 5, за да получим 5. Трябва да го повдигнем на първа степен. Накрая, ако взема 5^2, получавам 25. Когато го погледнеш от логаритмична гледна точка, просто се питаш на каква степен трябва да повдигнеш 5, за да получиш 25. Ще трябва да го повдигнем на втора степен. Един вид направих обратната на логаритмичната функция. Записах я като показателна функция. Промених местата на зависимата и независимата променливи, така че достигна до ясни стойности за х, които ще ми дадат ясни стойности за у. Изяснихме това, но искам да ти припомня, че можех да избера случайни числа тук, но тогава вероятно щях да получа по-странни числа ето тук. Щеше да трябва да използвам калкулатор. Единствената причина да го направя по този начин беше, за да получа ясни и точни резултати, които мога да поставя на графиката на ръка. Нека начертаем графиката. Нека начертаем графиката на това тук. Стойностите на у са между -2 и 2. Стойностите на х са от 1/25 чак до 25. Нека начертаем графиката. Това е оста у, а това е оста х. Ще го начертая така. Това е оста х. После стойностите на у започват от 0. После стигаш до +1, +2. А после имаш -1. После имаш -2. После, на оста х всичко е положително. Ще те оставя да помислиш дали дефиниционното множество тук е – когато помислиш върху това – е логаритмична функция, зададена чрез х, което не е положително. Има ли някоя степен, на която мога да повдигна 5, за да получа 0? Не. Можеш да повдигнеш 5 на безкрайно отрицателна степен, за да получиш много, много, много, много, много малко число, което доближава 0, но никога не можеш да получиш – няма нито една степен, на която можеш да повдигнеш 5, за да получиш 0. Тоест х не може да е 0. И няма степен, на която можеш да повдигнеш 5, за да получиш отрицателно число. Така че х не може да е и отрицателно число. Така че дефиниционното множество тук – и това е важно, понеже искаме да помислим на какво чертаем графика – дефиниционното множество е "х трябва да е по-голямо от 0". Нека запиша това. Дефиниционното множество е "х трябва да е по-голямо от 0". Така че ще можем да начертаем графиката на тази функция само за положителната част на Ох. Като изяснихме това, х стига чак до 25. Поставяме тези точки тук. Това е 5, 10, 15, 20 и 25. А после нека поставим тези. Първата е в синьо. Когато х е 1/25 и у е -2 – когато х е 1/25, числото 1 е тук – 1/25 ще е много близо до това. После у е -2. Така че това ще е някъде тук, не точно на оста у. Сега сме на 1/25 вдясно от оста у. Но сме доста близо. То е това ето там. Това е (1/25; -2). После, когато х е 1/5, което е малко по-надясно, 1/5; у е -1. Ето тук. Това е (1/5; -1). После, когато х е 1, у е 0. Така че 1 може да е тук. Това е точката (1; 0). Когато х е 5, у е 1. Когато х е 5, когато ето това е 5, у е 1. Това е точката (5; 1). Накрая, когато х е 25, у е 2. Това е (25; 2). След това мога да начертая графиката на функцията. Нека го направя в този цвят – ще използвам розово. Когато х става много, много, много малко, у стига до минус безкрайност. Става много малко – когато х става... Ако се запиташ на каква степен трябва да повдигнеш 5, за да получиш 0,0001 – това трябва да е много, много, много отрицателна степен. Така че у ще е много отрицателно, когато клоним към 0. И после се придвижва нагоре ето така. И после завива надясно ето така. И това нещо тук ще продължи надолу все по-стремглаво и по-стремглаво. И никога няма напълно да докосне оста у. Ще се доближи все повече и повече до оста у. Но никога няма да я докосне.