If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Общообразователна подготовка

Раздел 2: Урок 1

Логаритъм. Въведение

Зависимост между показателни функции и логаритми: графики

Като са дадени няколко точки от графиката на една показателна функция, Сал нанася съответните точки на графиката на съответната логаритмична функция. Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

"Трите точки, показани по-долу, са от графиката на 'у, равно на b на степен х'. Въз основа само на тези 3 точки постави трите съответни точки, които са на графиката на 'у, равно на логаритъм от х при основа b', като кликваш на графиката." Всъщност копирах и поставих тази задача на малкия си бележник, така че да мога да го маркирам тук-там. Каква е първата функция? Първата функция ни дава: имаме х и това е 'у, равно на b на степен х'. Когато х = 0, у = 1. Това е тази точка тук. Когато х = 1, b на степен 1 или b на първа е равно на 4. у е равно на 4. Друг начин да мислим за това е у или 4 е равно на b на първа степен, следователно b трябва да е равно на 4. Това е тази точка ето тук. Тази точка ни казва, че b на втора степен е равно на 16. Когато х = 2, b на втора степен, или у = 16. Сега искаме да поставим трите съответни точки на графиката на тази функция. Нека начертая друга таблица. Тя всъщност се състои от обратната функция, където това ще е х и искаме да изчислим 'у, равно на логаритъм от х при основа b'. Какви са възможностите тук? Искам да помислим... Нека вземем тези стойности, понеже това всъщност са взаимно обратни функции – логаритъм е обратната функция на показателната функция. Ако вземем точките 1, 4 и 16... Колко ще е у тук? у ще е логаритъм от 1 при основа b. Това пита на каква степен трябва да повдигнем b, за да получим 1. Ако приемем, че b не е 0 и това е логично предположение, понеже b на други степени не е 0, това ще е 0 за всяко b, различно от 0 . Това тук ще е 0. Имаме точката (1; 0). Това е тази точка ето тук. Забележи, че тази точка съответства на тази точка, като цяло "обърнахме" всички х и у. По принцип когато имаш обратна функция, графиката ѝ ще е симетрична на графиката на първоначалната функция спрямо правата у=х. А това определено е симетрично спрямо тази права. Нека сега погледнем ето тук – когато х = 4, колко е логаритъм от 4 при основа b? На каква степен трябва да повдигна b, за да получа 4? Виждаме го ето тук – b на първа е равно на 4. Вече открихме това – открихме, че b на първа степен е равно на 4. Това тук ще е равно на 1. Когато х = 4, тогава у = 1. Забележи, че това отново е симетрично спрямо правата у = х. Когато х = 16, тогава у е равно на логаритъм от 16 при основа b. Тоест степента, на която трябва да повдигна b, за да получа 16. Вече знаем, че ако вземем b на квадрат, получаваме 16, тоест това е равно на 2. Когато х = 16, у = 2. Забележи, че "обърнахме" х и у стойностите за всяка от тези точки. Това е у, това е симетричното изображение спрямо правата у = х. Сега нека направим това на първоначалния екран. Цялото нещо е за да осъзнаеш, че това са обратни функции. Нека поставим точките. Тази точка е съответна на тази точка, тоест точката (0; 1) съответства на точката (1; 0). Тук х е 1, у е 4, което съответства на х = 4, у = 1. Тук х е 2, у е 16 и това съответства на х = 16, у = 2. И сме готови.