Зависимост между показателни функции и логаритми: графики

"Трите точки, показани по-долу, са от графиката на 'у, равно на b на степен х'. Въз основа само на тези 3 точки постави трите съответни точки, които са на графиката на 'у, равно на логаритъм от х при основа b', като кликваш на графиката." Всъщност копирах и поставих тази задача на малкия си бележник, така че да мога да го маркирам тук-там. Каква е първата функция? Първата функция ни дава: имаме х и това е 'у, равно на b на степен х'. Когато х = 0, у = 1. Това е тази точка тук. Когато х = 1, b на степен 1 или b на първа е равно на 4. у е равно на 4. Друг начин да мислим за това е у или 4 е равно на b на първа степен, следователно b трябва да е равно на 4. Това е тази точка ето тук. Тази точка ни казва, че b на втора степен е равно на 16. Когато х = 2, b на втора степен, или у = 16. Сега искаме да поставим трите съответни точки на графиката на тази функция. Нека начертая друга таблица. Тя всъщност се състои от обратната функция, където това ще е х и искаме да изчислим 'у, равно на логаритъм от х при основа b'. Какви са възможностите тук? Искам да помислим... Нека вземем тези стойности, понеже това всъщност са взаимно обратни функции – логаритъм е обратната функция на показателната функция. Ако вземем точките 1, 4 и 16... Колко ще е у тук? у ще е логаритъм от 1 при основа b. Това пита на каква степен трябва да повдигнем b, за да получим 1. Ако приемем, че b не е 0 и това е логично предположение, понеже b на други степени не е 0, това ще е 0 за всяко b, различно от 0 . Това тук ще е 0. Имаме точката (1; 0). Това е тази точка ето тук. Забележи, че тази точка съответства на тази точка, като цяло "обърнахме" всички х и у. По принцип когато имаш обратна функция, графиката ѝ ще е симетрична на графиката на първоначалната функция спрямо правата у=х. А това определено е симетрично спрямо тази права. Нека сега погледнем ето тук – когато х = 4, колко е логаритъм от 4 при основа b? На каква степен трябва да повдигна b, за да получа 4? Виждаме го ето тук – b на първа е равно на 4. Вече открихме това – открихме, че b на първа степен е равно на 4. Това тук ще е равно на 1. Когато х = 4, тогава у = 1. Забележи, че това отново е симетрично спрямо правата у = х. Когато х = 16, тогава у е равно на логаритъм от 16 при основа b. Тоест степента, на която трябва да повдигна b, за да получа 16. Вече знаем, че ако вземем b на квадрат, получаваме 16, тоест това е равно на 2. Когато х = 16, у = 2. Забележи, че "обърнахме" х и у стойностите за всяка от тези точки. Това е у, това е симетричното изображение спрямо правата у = х. Сега нека направим това на първоначалния екран. Цялото нещо е за да осъзнаеш, че това са обратни функции. Нека поставим точките. Тази точка е съответна на тази точка, тоест точката (0; 1) съответства на точката (1; 0). Тук х е 1, у е 4, което съответства на х = 4, у = 1. Тук х е 2, у е 16 и това съответства на х = 16, у = 2. И сме готови.