Използване на правилото за смяна на основата на логаритми

Тук имаме два различни логаритмични израза – единият в жълто, а другият в този розовеещ цвят. Искам от теб, както винаги, да спреш видеото на пауза и да видиш дали можеш да напишеш всеки от тези логаритмични изрази по по-прост начин. Ще ти дам подсказка, в случай че все още гледаш. Подсказката е, че ако помислиш как можеш да смениш основата на логаритъма или на логаритмите, или на логаритмичните изрази, може да успееш да ги опростиш малко. Ще ти дам дори още по-голяма подсказка. Когато говоря за смяна на основата, казвам, че ако имам логаритъм – ще му сложа цвят – логаритъм от b при основа а, това ще бъде равно на логаритъм от b върху логаритъм от а, Сега може да кажеш: "Чакай, чакай, чакай, тук написахме логаритъм, но не написа каква е основата." Това ще бъде вярно, без значение каква основа избираш, стига да избереш една и съща основа. Това може да е основа 9 и в двата случая. Обикновено хората избират основа 10. 10 е най-често използваната основа и това е заради калкулаторите на повечето хора или може да имат логаритмични таблици за основа 10. Тук казваш, че степента, на която трябва да повдигна а, за да получа b, е равна на степента, на която трябва да повдигна 10, за да получа b, делено на степента, на която трябва да повдигна 10, за да получа а. Това е наистина, наистина полезно да се знае, ако работиш с логаритми. Като ние сме го доказвали в друг клип. Но сега ще видим дали можем да го приложим. Връщайки се сега към този жълтия израз, това още веднъж е същото нещо като 1, делено на това тук. Нека го напиша всъщност по този начин. Това е 1, делено на логаритъм от 4 при основа b. Нека използваме това, което казахме тук, да го пренапишем. Това ще бъде равно на, това ще бъде равно на 1, делено на, вместо да го пишем като логаритъм от 4 при основа b, можем да го напишем като логаритъм от 4 и ако не пиша основата там, можем да приемем, че имаме основа 10. Логаритъм от 4 върху логаритъм от b. Ако деля на някаква дроб или рационален израз, това е същото като умножение по реципрочното. Това ще бъде равно на 1 по реципрочното на това. Логаритъм от b върху логаритъм от 4, което разбира се ще бъде просто логаритъм от b върху логаритъм от 4, просто го умножих по 1. Сега можем да отидем в другата посока, използвайки този малък инструмент, който установихме в началото на видеото. Това е същото нещо като логаритъм от b при основа 4. Имаме доста чист резултат, който всъщност излезе от тук, не сме го доказвали за никакви стойности, въпреки че имаме едно доста общо b тук. Ако взема реципрочното на един логаритмичен израз, по същество съм сменил основите. Това е логаритъм при основа b. На каква основа трябва да повдигна b, за да получа 4? И след това тук имам на каква степен трябва да повдигна 4, за да получа b? Може да изглежда малко като магия, докато всъщност не въведеш някакви реални числа тук. Тогава започва да придобива смисъл, особено спрямо дробни степенни показатели. Например знаем, че 4 на трета степен е равно на 64. Ако имах логаритъм от 64 при основа 4, това щеше да е равно на 3. И ако бях казал логаритъм от 4 при основа 64, сега трябваше да повдигна това на степен 1/3. Забележи, че те са реципрочни едно на друго. Всъщност не е чак толкова вълшебно, но е хубаво да видиш как всичко си пасва. Сега нека опитаме да се справим с този тук. Имам логаритъм от 16 при основа с, по логаритъм от с при основа 2. Още веднъж, може да е хубаво да напишем всяко от тези като рационален израз, който включва логаритъм при основа 10. Този първия мога да го напиша като логаритъм от 16 при основа 10. Спомни си, че ако не пиша основата, можеш да приемеш, че тя е 10, върху логаритъм от с при основа 10. Като ще го умножим по, сега това ще бъде, можем да го напишем като логаритъм от с при основа 10 върху логаритъм от 2 при основа 10. Логаритъм от 2 при основа 10. Още веднъж, мога да напиша тези малки 10-ци тук, ако така ще ти е по-ясно. Мога да ги напиша, но няма нужда да го правя. Сега това е интересно, защото ако умножавам по логаритъм от с и деля на логаритъм от с, и двете при основа 10, те ще се съкратят и ще остана с логаритъм при основа 16, извинявам се, логаритъм от 16 при основа 10 върху логаритъм от 2 при основа 10. Знаем как да отидем в другата посока тук, това ще бъде логаритъм от 16 при основа 2. Логаритъм от 16 при основа 2, като все още не сме готови, защото всичко това е на коя степен трябва да повдигна 2, за да получа 16? Трябва да повдигна 2 на четвърта степен. Трябва да го напиша в синьо. Да повдигна 2 на четвърта степен, за да получа 16. Това е доста интересно нещо, защото в началото започнах с променливата с, изглеждаше че ще си имаме работа с доста абстрактно нещо, но можеш всъщност да изчислиш този странно изглеждащ израз тук, да го изчислиш до числото 4. Всъщност ако водех някакъв вид математическа игра или нещо подобно, това можеше да бъде доста добра улика за изчисляването на 4. Сега се придвижваш с толкова стъпки напред или нещо подобно. Щеше да е доста интересно.