If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Общообразователна подготовка

Курс: 11. клас (България) Общообразователна подготовка > Раздел 2

Урок 2: Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен
Математика
11. клас (България) Общообразователна подготовка
Логаритъм
Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Доказване на свойствата на логаритмите

Класна стая на Google
Виж доказателствата на свойства на логаритмите: правило за логаритмуване на произведение, правило за логаритмуване на частно и правило за логаритмуване на степен.
В този урок ще докажем три свойства на логаритмите: правилата за логаритмуване на произведение, на частно и на степен. Преди да започнем, нека си припомним един полезен факт, който ще ни помогне:
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
С други думи, един логаритъм с основа b ни дава обратното на степенуването с основа b (действието логаритмуване е обратното на действието степенуване)!
Помни това, докато четеш следващите доказателства.

Правило за логаритмуване на произведение: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Нека започнем, като докажем един специфичен случай на правилото – случаят, когато M, equals, 4, N, equals, 8 и b, equals, 2.
Замествайки тези стойности в log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, виждаме:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 и 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8)Тъй като 2=log⁡2(4) и 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ и } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Тъй като $2=\log_2(4)$ и $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Получаваме, че log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Това доказва един конкретен случай, но можем да следваме тази логика, за да докажем общото правило за логаритмуване на произведение.
Забележи, че представянето на 4 и 8 като степени на 2 беше ключът към доказателството. Тоест, като цяло искаме M и N да са степени на основата b. За да направим това, можем да положим M, equals, b, start superscript, x, end superscript и N, equals, b, start superscript, y, end superscript за някакви реални числа x и y.
Следователно, по дефиниция, вярно е също, че log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x и log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Сега имаме:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Заместване=log⁡b(bx+y)Свойства на степените=x+ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)Заместване\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Заместване}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Заместване}}} \end{aligned}

Правило за логаритмуване на частно: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Доказателството на това свойство следва метод, който е подобен на използвания по-горе.
Отново, ако положим M, equals, b, start superscript, x, end superscript и N, equals, b, start superscript, y, end superscript, то следва, че log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x и log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Сега можем да докажем правилото за логаритмуване на частно, както следва:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Заместване=log⁡b(bx−y)Свойства на степените=x−ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)Заместване\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Заместване}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Заместване}}} \end{aligned}

Правилото за логаритмуване на израз, повдигнат на степен: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Този път само M е включено в свойството и затова е достатъчно да положим M, equals, b, start superscript, x, end superscript, което ни дава, че log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
Доказателството за правилото за логаритмуване на степен е показано по-долу.
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Заместване=log⁡b(bxp)Свойства на степените=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)⋅pЗаместване=p⋅log⁡b(M)За умножението важи разместителното свойство\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Заместване}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Свойства на степените}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Заместване}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{За умножението важи разместителното свойство}}} \end{aligned}
Можем да докажем това свойство и като използваме свойството за логаритмуване на произведение.
Знаем, че log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, където M е умножено p пъти по себе си.
Сега можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, заедно с дефиницията на умножението като многократно събиране, за да довършим доказателството. Това е показано по-долу.
log⁡b(Mp)=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)Определение за степен=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)Свойство за логаритмуване на произведение=p⋅log⁡b(M)Многократното събиране е идентично с умножение\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Определение за степен}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Свойство за логаритмуване на произведение}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Многократното събиране е идентично с умножение}}}\end{aligned}
Готово! Току-що доказахме трите свойства на логаритмите!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.