If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) Общообразователна подготовка > Раздел 2

Урок 2: Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен

Доказване на свойствата на логаритмите

Виж доказателствата на свойства на логаритмите: правило за логаритмуване на произведение, правило за логаритмуване на частно и правило за логаритмуване на степен.
В този урок ще докажем три свойства на логаритмите: правилата за логаритмуване на произведение, на частно и на степен. Преди да започнем, нека си припомним един полезен факт, който ще ни помогне:
logb(bc)=c
С други думи, един логаритъм с основа b ни дава обратното на степенуването с основа b (действието логаритмуване е обратното на действието степенуване)!
Помни това, докато четеш следващите доказателства.

Правило за логаритмуване на произведение: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Нека започнем, като докажем един специфичен случай на правилото – случаят, когато M=4, N=8 и b=2.
Замествайки тези стойности в logb(MN), виждаме:
log2(48)=log2(2223)22=4 и 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)Тъй като 2=log2(4) и 3=log2(8)
Получаваме, че log2(48)=log2(4)+log2(8).
Това доказва един конкретен случай, но можем да следваме тази логика, за да докажем общото правило за логаритмуване на произведение.
Забележи, че представянето на 4 и 8 като степени на 2 беше ключът към доказателството. Тоест, като цяло искаме M и N да са степени на основата b. За да направим това, можем да положим M=bx и N=by за някакви реални числа x и y.
Следователно, по дефиниция, вярно е също, че logb(M)=x и logb(N)=y.
Сега имаме:
logb(MN)=logb(bxby)Заместване=logb(bx+y)Свойства на степените=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)Заместване

Правило за логаритмуване на частно: logb(MN)=logb(M)logb(N)

Доказателството на това свойство следва метод, който е подобен на използвания по-горе.
Отново, ако положим M=bx и N=by, то следва, че logb(M)=x и logb(N)=y.
Сега можем да докажем правилото за логаритмуване на частно, както следва:
logb(MN)=logb(bxby)Заместване=logb(bxy)Свойства на степените=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)Заместване

Правилото за логаритмуване на израз, повдигнат на степен: logb(Mp)=plogb(M)

Този път само M е включено в свойството и затова е достатъчно да положим M=bx, което ни дава, че logb(M)=x.
Доказателството за правилото за логаритмуване на степен е показано по-долу.
logb(Mp)=logb((bx)p)Заместване=logb(bxp)Свойства на степените=xplogb(bc)=c=logb(M)pЗаместване=plogb(M)За умножението важи разместителното свойство
Можем да докажем това свойство и като използваме свойството за логаритмуване на произведение.
Знаем, че logb(Mp)=logb(MMM), където M е умножено p пъти по себе си.
Сега можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, заедно с дефиницията на умножението като многократно събиране, за да довършим доказателството. Това е показано по-долу.
logb(Mp)=logb(MMM)Определение за степен=logb(M)+logb(M)++logb(M)Свойство за логаритмуване на произведение=plogb(M)Многократното събиране е идентично с умножение
Готово! Току-що доказахме трите свойства на логаритмите!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.