Основно съдържание

11. клас (България) Общообразователна подготовка

Курс: 11. клас (България) Общообразователна подготовка > Раздел 2

Урок 2: Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен

Доказване на свойствата на логаритмите

Виж доказателствата на свойства на логаритмите: правило за логаритмуване на произведение, правило за логаритмуване на частно и правило за логаритмуване на степен.

В този урок ще докажем три свойства на логаритмите: правилата за логаритмуване на произведение, на частно и на степен. Преди да започнем, нека си припомним един полезен факт, който ще ни помогне:

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

С други думи, един логаритъм с основа

b

ни дава обратното на степенуването с основа

b

(действието логаритмуване е обратното на действието степенуване)!

[Защо това е вярно?]

Помни това, докато четеш следващите доказателства.

Правило за логаритмуване на произведение: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Нека започнем, като докажем един специфичен случай на правилото – случаят, когато

M = 4

N = 8

b = 2

Замествайки тези стойности в

\log_{b} (M N)

, виждаме:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 и 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Тъй като 2 = \log_{2} (4) и 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Получаваме, че

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Това доказва един конкретен случай, но можем да следваме тази логика, за да докажем общото правило за логаритмуване на произведение.

Забележи, че представянето на

4

8

като степени на

2

беше ключът към доказателството. Тоест, като цяло искаме

M

N

да са степени на основата

b

. За да направим това, можем да положим

M = b^{x}

N = b^{y}

за някакви реални числа

x

y

[Защо можем да направим това?]

Следователно, по дефиниция, вярно е също, че

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Сега имаме:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Заместване \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Свойства на степените \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Заместване \end{aligned}$ ‍

Правило за логаритмуване на частно: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Доказателството на това свойство следва метод, който е подобен на използвания по-горе.

Отново, ако положим

M = b^{x}

N = b^{y}

, то следва, че

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Сега можем да докажем правилото за логаритмуване на частно, както следва:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Заместване \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Свойства на степените \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Заместване \end{aligned}$ ‍

Правилото за логаритмуване на израз, повдигнат на степен: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Този път само

M

е включено в свойството и затова е достатъчно да положим

M = b^{x}

, което ни дава, че

\log_{b} (M) = x

Доказателството за правилото за логаритмуване на степен е показано по-долу.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Заместване \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Свойства на степените \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Заместване \\ = p \cdot \log_{b} (M) & За умножението важи разместителното свойство \end{aligned}$ ‍

Можем да докажем това свойство и като използваме свойството за логаритмуване на произведение.

Знаем, че

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, където

M

е умножено

p

пъти по себе си.

Сега можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, заедно с дефиницията на умножението като многократно събиране, за да довършим доказателството. Това е показано по-долу.

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Определение за степен \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Свойство за логаритмуване на произведение \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Многократното събиране е идентично с умножение \end{aligned}

Готово! Току-що доказахме трите свойства на логаритмите!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

11. клас (България) Общообразователна подготовка

Курс: 11. клас (България) Общообразователна подготовка > Раздел 2

Правило за логаритмуване на произведение: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Правило за логаритмуване на частно: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Правилото за логаритмуване на израз, повдигнат на степен: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Правило за логаритмуване на произведение: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Правило за логаритмуване на частно: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Правилото за логаритмуване на израз, повдигнат на степен: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍