If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) Общообразователна подготовка > Раздел 2

Урок 2: Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен

Въведение към свойства на логаритмите

Научи как логаритмуваме произведение, частно и степен и как можем да използваме това, за да преобразуваме логаритмични изрази. Логаритмувай например log₂(3a).
Логаритмуване на произведениеlogb(MN)=logb(M)+logb(N)
Логаритмуване на частноlogb(MN)=logb(M)logb(N)
Логаритмуване на степенlogb(Mp)=plogb(M)
(Тези свойства важат за всички стойности на M, N и b, за които логаритъмът е дефиниран, които са M, N>0 и 0<b1.)

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Трябва да знаеш какво са логаритми. Ако не знаеш, виж урока въведение в логаритмите.

Какво ще научиш в този урок

Логаритмите, като степените, имат много полезни свойства, които могат да бъдат използвани за опростяване на логаритмични изрази и решаване на логаритмични уравнения. Тази статия разглежда три от тези свойства.
Нека разгледаме поотделно всяко свойство.

Логаритмуване на произведение: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Това свойство казва, че логаритъмът от едно произведение е равен на сбора от логаритмите на множителите.
Можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да преобразуваме логаритмичните изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на правилото за логаритмуване на произведение

За нашите цели, разлагане на един логаритъм означава записването му като сбора от два логаритъма или повече.
Нека разложим log6(5y) на множители.
Забележи, че двата множителя на аргумента на логаритъма са 5 и y. Можем директно да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да разложим логаритъма на множители.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)Логаритмуване на произведение

Пример: Опростяване на сбор на логаритми с еднаква основа

За нашите цели, опростяване на сбор на два или повече логаритъма означава записването им като един единствен логаритъм.
Да опростим log3(10)+log3(x).
След като двата логаритъма имат една и съща основа (основа 3), можем да приложим в обратна посока свойството за логаритмуване на произведение:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)Логаритмуване на произведение=log3(10x)

Важна забележка

Когато опростяваме логаритмични изрази чрез използване на свойството за логаритмуване на произведение, основите на всички логаритми в израза трябва да са еднакви.
Не можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да опростим израз като log2(8)+log3(y).

Провери знанията си

1) Разложи log2(3a) на множители.

2) Опрости log5(2y)+log5(8).

Логаритмуване на частно: logb(MN)=logb(M)logb(N)

Това свойство казва, че логаритъмът от частно е равен на разликата на логаритмите на делимото и делителя.
Нека сега използваме свойството за логаритмуване на частно, за да преобразуваме логаритмичните изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на частно

Нека представим log7(a2) като разликата на два логаритъма, като директно приложим свойството за логаритмуване на частно.
log7(a2)=log7(a)log7(2)Логаритмуване на частно

Пример: Опростяване на логаритми с помощта на свойството за логаритмуване на частно

Опрости log4(x3)log4(y).
Тъй като двата логаритъма имат една и съща основа (основа 4), можем да приложим свойството за логаритмуване на частно в обратна посока:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)Логаритмуване на частно

Важна забележка

Когато опростяваме логаритмични изрази с използване на свойството за логаритмуване на частно, основите на всички логаритми в израза трябва да са едни и същи.
Например не можем да използваме свойството за логаритмуване на частно, за да опростим израз като log2(8)log3(y).

Провери знанията си

3) Разложи logb(4c).

4) Опрости lg(3z)lg(8).

Логаритмуване на степен: logb(Mp)=plogb(M)

Това свойство на логаритмите гласи, че логаритъм от нещо, повдигнато на степен, е равен на степенният показател, умножен по логаритъма от основата на степента.
Нека сега използваме свойството за логаритмуване на степен, за да преработим някои логаритмични изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на степен

За нашите цели в този раздел, разлагане на логаритъм от степен означава представянето му като кратно на друг логаритъм.
Нека използваме свойството за логаритмуване на степен, за да разложим log2(x3) на множители.
log2(x3)=3log2(x)Логаритмуване на степен=3log2(x)

Пример: Опростяване на кратно на логаритъм

За нашите цели в този раздел, опростяване на кратно на логаритъм означава представянето му като един единствен логаритъм.
Нека използваме свойството за логаритмуване на степени, за да опростим 4log5(2).
Когато опростяваме един логаритмичен израз с използване на свойството за логаритмуване на степени, поставяме всички множители в степенния показател.
4log5(2)=log5(24)Свойство за логаритмуване на степен=log5(16)

Провери знанията си

5) Разложи log7(x5) на множители.

6) Опрости 6ln(y).

Задачи с повишена трудност

За да решиш следващите задачи, ще трябва да приложиш по няколко свойства за всяка от тях. Опитай!
7) Кой от следните изрази е еквивалентен на logb(2x35)?
Избери един отговор:

8) Кой от следните изрази е еквивалентен на 3log2(x)2log2(5)?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.