Въведение към степени с рационални степенни показатели

Вече знаем доста неща за степените. Например знаем, че ако вземем числото 4 и го повдигнем на трета степен, това е еквивалентно на вземането на три четворки и умножаването им една по друга. Можеш също да го разглеждаш, като все едно започваме с 1 и и след това го умножаваме по 4 три пъти. Но и по двата начина това ще доведе до резултат 4 по 4 = 16, 16 по 4 = 64. Знаем също малко за отрицателните степени. Например ако имаме 4 на степен минус 3, знаем, че този отрицателен знак ни казва да вземем реципрочното или 1 върху 4 на трета. А вече знаем, че 4 на трета е 64, така че това ще бъде 1/64. Сега нека разгледаме дробните степенни показатели. Да помислим колко е 4 на степен 1/2. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и поне да предположиш колко е това. Математическата установена практика тук, математическото определение, които повечето хора използват, или всъщност което всички хора използват, е че 4 на степен 1/2 е точно същото като корен квадратен от 4. Ние ще говорим в бъдеще защо това е така. Причината да е определено по този начин е, че то има всякакви видове ясни и елегантни свойства, когато започнеш да преработваш действителните степени. Но какво означава корен квадратен от 4? Ами това означава кое число, умножено по себе си, или ако имам две еднакви числа и ги умножа едно по друго, ще даде резултат 4? Кое число, умножено по себе си, е равно на 4? Това разбира се е 2. За да добиеш представа защо се получава това, спомни си, че можем също да напишем, че 4 е равно на 2 на квадрат. Започваш да забелязваш нещо интересно. 4 на степен 1/2 е равно на 2, 2 на квадрат е равно на 4. Нека разгледаме още няколко примера за това, просто за да е сигурно, че разбираш какво се случва. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза за колкото е необходимо, и да се опиташ да го намериш самостоятелно. Въз основа на това, което ти казах, колко мислиш че е 9 на степен 1/2? Това е просто корен квадратен от 9. Положителният корен квадратен от 9. Това ще бъде равно на 3. По подобен начин можем също да кажем, че 3 на квадрат е – или нека го напиша по този начин – че 9 е равно на 3 на квадрат. И двете са верни твърдения. Нека решим още една такава задача. Колко е 25 на степен 1/2? Това е 5. 5 по 5 е 25. Или би могъл да кажеш, че 25 е равно на 5 на квадрат. Сега нека помислим какво се случва, когато повдигнеш нещо на степен 1/3. Нека си представим, че имаме 8 на степен 1/3. Определението тук е, че повдигането на едно число на степен 1/3 е същото като кубичен корен от това число. А кубичният корен е просто да кажем кое число, ако имах три от него и ги умножа, ще получа 8. Нещо по нещо по нещо е 8. Ами вече знаем, че 8 е равно на 2 на трета степен. Така че кубичният корен от 8 или 8 на степен 1/3 ще бъде равно на 2. Това ни казва да намерим числото, за което това число по това число по това число, дава резултат 8. Добре, това число е 2, защото 2 на трета степен е 8. Да направим още няколко примера за това. Колко е 64 на степен 1/3? Ами вече знаем, че 4 по 4 по 4 е 64. Така че това е 4. Вече написахме тук, че 64 е равно на 4^3. Мисля, че започваш да виждаш някакъв модел тук, някаква закономерност. Можем да разширим тази идея до произволни рационални степенни показатели. Какво се случва, ако трябваше да повдигна... Да кажем, че имам... Нека измисля едно хубаво число – да кажем, че имам 32. Имам числото 32 и го повдигам на степен 1/5. Това ни казва да намерим числото, което ако го умножа едно след друго пет пъти, ще получа 32. Ами 32 е същото като 2 по 2, по 2, по 2, по 2. Така че 2 е това число, което ако го умножа пет пъти, ще получа 32. Така че това тук е 2. Друг начин да кажем това, един вид едно и също твърдение за света е, че 32 е равно на 2 на пета степен.