Пресмятане на степени с дробни степенни показатели

Вече видяхме какво означава 64 на степен 1/3. Видяхме, че това е точно същото нещо, като намирането на корен трети от 64. И тъй като знаем, че 4 по 4, по 4, или 4 на трета степен, е равно на 64, ако търсим корен трети от 64, ще търсим число, при което това число по това число, по същото число, ще бъде равно на 64. Знаем, че числото е 4, така че това нещо тук ще бъде 4. Сега ще помислим за малко по-сложни дробни степени. Това, което виждаме тук има 1 в числителя. Сега ще видим нещо различно. Това, което искам да направя, е да помисля, колко е 64 на степен 2/3. И тук ще използвам едно свойство на степените, което ще учим по-нататък. Но това свойство на степените е идеята, че – нека вземем едно просто число – ако повдигна нещо на трета степен и след това повдигна това например на четвърта степен, това ще бъде същото нещо, като повдигането на 2 на степен 3 по 4 или 2 на степен 12, което може също да напишеш като повдигането му на четвърта степен и след това на трета степен. Всичко това казва, че ако повдигна нещо на степен и след това повдигна това цялото нещо на друга степен, това е същото нещо, като умножаването на двата степенни показателя. Това е същото нещо като 2 на 12-та. Можем да използваме това свойство тук, за да кажем, че 2/3 е същото нещо като 1/3 по 2. Така че можем да отидем в другата посока. Можем да кажем – Хей, виж, това ще бъде същото нещо, като 64 на степен 1/3 и после това нещо на квадрат. Забележи, че повдигам нещо на степен и след това повдигам това на степен. Ако трябва да умножа тези две неща, ще получа 64 на степен 2/3. Защо направих това? Вече знам колко е 64 на степен 1/3. Ние току-що го изчислихме. Това е равно на 4. Можем да кажем, че това е равно на... и аз ще го напиша с този същия жълт цвят – това е равно на 4 на квадрат, което е равно на 16. Така че 64 на степен 2/3 е равно на 16. Начинът, по който го разглеждам, е първо да намеря корен трети от 64, което е 4, и след това го повдигам на квадрат. И това ще ме отведе до 16. Сега ще ти дам дори още по-сложна задача. И ти препоръчвам да опиташ тази самостоятелно, преди да я направя. И така, ще имаме работа с 8 върху 27. И ние ще повдигнем това на... ще се опитам да го означа цветово... на степен –2/3, на степен –2/3. Препоръчвам ти да спреш и опиташ това самостоятелно. Първото нещо, което ще направя, независимо че виждам отрицателна степен, е да кажа: Как мога да се отърва от тази отрицателна степен? И просто си припомням, че отрицателната степен просто казва да вземем реципрочното на основата на положителна степен. Така че това ще бъде равно на... реципрочното на това е 27... Използвам различен цвят. Ще използвам този светъл бледоморав цвят. Така че това ще бъде равно на 27 върху 8. Просто вземам реципрочното на това тук. Това е равно на 27/8 на степен плюс 2/3. На положителна степен 2/3. Забележи, че всичко, което направих е, че се отървах от минуса и взех реципрочното на основата тук. 8/27 е основата, –2/3 е степента. Как мога да се справя с това? Вече видяхме, че ако имам числител на някаква степен върху знаменател на някаква степен – и това е друго много важно свойство на степените – това е същото като повдигането на 27 на степен 2/3 (на степен 2 върху 3) върху 8 на степен 2/3. 8 на степен 2/3. Това е друго много мощно свойство на степените. Забележи, че ако имам нещо делено на нещо, и повдигна цялото нещо на степен, мога по същество да повдигна числителя на тази степен и да повдигна знаменателя на тази степен. Нека помисля какво е това. Точно както видяхме преди, това ще бъде същото нещо, това е същото нещо като 27 на степен 1/3 и после това повдигнато на квадрат, защото 1/3 по 2 е 2/3. Така че ще повдигна 27 на степен 1/3 и след това повдигаме на квадрат, без значение какво е. За цялото това цветово кодиране ще трябва да сменям много цветове. Това ще бъде върху 8 на степен 1/3. 8 на степен 1/3. И после това ще бъде повдигнато на втора степен. Същото нещо правим в знаменателя – повдигаме 8 на 1/3 и след това го повдигаме на квадрат. И така, колко ще бъде това? 27 на степен 1/3 е корен трети от 27. Това е някакво число – това число по това същото число, по това същото число и ще бъде равно на 27. Добре, може би вече се досети, че 3 на трета е равно на 27 или че 27 на 1/3 е равно на 3. Така в числителя ще завършим с 3 на квадрат. И след това в знаменателя ще имаме... колко е 8 на степен 1/3? Това е 2 по 2 по 2, което е 8. Така че това е 8 на 1/3, което е 2. И след това ще... Нека направя това със същия оранжев цвят. 8 на 1/3 е 2 и след това ще повдигнем това на квадрат. Всичко ще се опрости до 3 на квадрат върху 2 на квадрат, което просто е равно на 9/4. И ако просто го разбиеш стъпка по стъпка, то всъщност не е никак страшно.