Въведение в симетрия на функции

Една фигура е симетрична, ако остава непроменена при симетрия спрямо някой от нейните диагонали.

Например петоъгълникът по-горе е симетрична фигура.

Обърни внимание, че правата $l$l е ос на симетрия, и че фигурата е огледален образ на самата себе си спрямо тази права.

Тази идея за симетричност може да бъде приложена към фигурите на графиките. Нека разгледаме това.

Една функция е четна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо оста $y$y.

Например функцията $f$f, графиката на която е по-долу, е четна функция.

Увери се самостоятелно, като плъзнеш точката по оста $x$x отдясно наляво. Забележи, че графиката остава непроменена при симетрия спрямо оста $y$y!

Разгледано от алгебрична гледна точка, една функция $f$f е четна, ако $f(-x)=f(x)$f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis за всички възможни стойности на аргумента $x$x.

Например обърни внимание за четната функция по-долу как симетрията спрямо оста $y$y гарантира, че $f(x)=f(-x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis за всички стойности на аргумента $x$x.

Една функция е нечетна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо началото на координатната система.

Визуално това означава, че можеш да завъртиш фигурата на $180^\circ$180, degrees около началото на координатната система, и тя остава непроменена.

Друг начин да визуализираме симетрията спрямо началото на координатната система е да си представим изобразяване при осева симетрия спрямо оста $x$x, последвано от осева симетрия спрямо оста $y$y. Ако при това графиката на функцията остава непроменена, графиката е симетрична спрямо началото на координатната система.

Например функцията $g$g, чиято графика е представена по-долу, е нечетна функция.

Увери се самостоятелно, като плъзнеш точката по оста $y$y отгоре надолу (за да намериш симетричния образ на функцията спрямо оста $x$x), и точката по оста $x$x отдясно наляво (за да намериш симетричния образ на функцията спрямо оста $y$y). Забележи, че това е първоначалната функция!

От алгебрична гледна точка една функция $f$f е нечетна, ако $f(-x)=-f(x)$f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis за всички възможни стойности на $x$x.

Например обърни внимание, че за нечетната функция по-долу симетрията на функцията гарантира, че стойността $f(-x)$f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis винаги е с противоположен знак на стойността $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis.