If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:22

Видео транскрипция

Вероятно знаеш какво представляват понятията четни и нечетни числа, а в това видео сега ще говорим за четни и нечетни функции. И както можеш да видиш или както ще видиш, тук има някои сходства между тях, но има и някои разлики. Първо да помислим какво означава четна функция. Един начин да представим какво е четна функция е, че ако намерим симетричния ѝ образ спрямо оста у, тогава тази функция изглежда по същия начин. Ще дам един класически пример за четна функция. Може да е тази тук, класическа парабола, за която върхът лежи на оста у. Това е четна функция. Значи това може да е графиката на f(х) равно на х^2. Обърни внимание, че ако намерим симетричния образ спрямо оста у той е същият като оригиналната графика. Това можем да обясним математически, като ние засегнахме това, когато въведохме понятието образ на функция при осева симетрия, можем да кажем, че функцията е равна на собствения си образ спрямо оста у, което означава просто, че f(х) е равно на f(–х). Ако заместим всички стойности на х с –х, тогава графиката на функцията се изобразява симетрично спрямо оста у. А какво представляват нечетните функции? Нечетните функции – това е същата функция, ако намерим образа ѝ при осева симетрия спрямо оста у и оста х. Ще начертая един класически пример за нечетна функцкия. Класическият пример представлява f(х) равно на х^3, като графиката ѝ изглежда приблизително така. Обърни внимание, че ако първо намерим образа спрямо оста у, ще получим нещо приблизително такова. Ще използвам прекъсната линия. Симетричният образ спрямо оста у ще изглежда ето така. После симетричният образ спрямо оста х – получаваме отново същата функция. Но как да представим това с математически средства? Това означава, че функцията е еквивалентна не само на симетричния си образ спрямо оста у, който е равен на f(–х), но после и на образа при симетрия спрямо оста х, което ни дава отрицателното на тази стойност. Значи тук имаме две симетрии. Може би забелязваш известна закономерност, или си мислиш, че почти забелязваш закономерност, която свързва термините четен и нечетен с това, което съдържат досегашните ти математически знания. Току-що ти показах една четна функция, в която степенният показател е четно число, и също така ти показах нечетна функция, където степенният показател е нечетно число. Препоръчвам ти да провериш голям брой полиноми и различни степенни показатели, но се оказва, че ако просто имаме f(х) равно на х^n, тогава функцията е четна, ако степенният показател n е четно число, и функцията е нечетна, когато n е нечетно число. Това е една от зависимостите. Може би си мислиш: "Чакай, тогава сигурно има много функции, които не са нито четни, нито нечетни." Това е точно така. Например, ако имаме графиката на функцията f(х) = х^2 + 2, тази функция отново е четна функция. Можем да намерим симетричния ѝ образ, ако използваме симетрия спрямо оста у, тогава тя се нанася върху себе си. Но ако имаме функцията f(х) = (х – 2)^2, чиято графика изглежда ето така, (х – 2) измества графиката надясно с 2 единици, графиката изглежда ето така. Тази функция вече не е четна. Защото, обърни внимание, ако имаме симетрия спрямо оста у, вече няма да получим същата функция. Така че нещата не опират само до степенния показател. Има значение и структурата на самия израз. Ако имаме нещо много просто, например у = х^n, тази функция може да е четна или нечетна в зависимост от стойността на n. По същия начин, ако изместим тази функция f(х), ако я изместим нагоре даже, това правило вече не важи, ако имаме, например, у = х^3, и после нека да е плюс 3, тази функция вече не е нечетна функция. Защото при първата симетрия образът идва ето тук, но после при втората симетрия получаваме ето това. Получаваме нещо подобно. Така че не се връщаме към първоначалната функция. Нещо интересно, върху което да помислим, е да си представим функция, която едновременно е и четна, и нечетна. Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да помислиш за това. Съществува ли функция, за която f(х) e равно на f(–х), и за която f(х) е равно на – f(–х)? Ще ти дам една подсказка, всъщност направо ще ти кажа отговора. Представи си, че f(х) e равно просто на константата нула. Обърни внимание, това е просто една хоризонтална права, ето така, у просто е равно на 0. Ако намерим симетричния ѝ образ спрямо оста у, попадаме отново там, където бяхме. После, ако имаме симетрия спрямо оста х, отново, просто се връщаме там, където бяхме в началото. Значи тази функция е едновременно четна и нечетна, това е един много интересен случай.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".