If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:25

Видео транскрипция

Нека да научим повече за четни и нечетни функции. Четни функции, а тук вдясно ще разгледаме нечетни функции. Ако остане време, ще поговорим за функциите, които не са нито четни, нито нечетни. Преди да започна с формалната дефиниция за четни функции, искам да ти покажа как изглеждат те визуално, защото това е най-лесният начин да ги разпознаем и след това ще е по-логична формалната дефиниция на четните функция. Нека направя координатните оси тук. Оста x и след това... да видим дали мога да направя това малко по-правилно. Преместваме това тук и това е моята ос y. Или мога да кажа, че е оста y = f(x). Нека да направя графиката на f(x). f(x) = x^2, или Y = x^2, едното от двете. Нека направя първия квадрант. Изглежда така. И после във втория квадрант изглежда така. Прилича на... нека опитам да е симетрично. Доста добра работа. f(x) = x^2 е четна функция. Познаваме това, защото има тази симетрия около оста y. Ако разгледаш какво се случва от дясната страна, отдясно на оста y, и построиш симетричния образ спрямо оста y, ще получиш другата страна на функцията и това ти показва, че това е четна функция. Искам да ти покажа едно интересно свойство. Ако вземеш някаква стойност на x – да речем, вземеш положителна стойност на x. Приемаш, че х = 2. Намираш, че f(2) е четири. То е 4 за тази конкретна функция за f(x), където 2 на квадрат е 4. Ако приемем, че х = –2, ако вземем –2 и намерим функцията там, също ще получим четири, надявам се, че това е логично за теб. Тук си мислиш: "Сал, очевидно ако намеря симетричния образ на тази функция спрямо оста y, това е, което ще се случи." За всяка стойност на функцията за положителната стойност на дадено число, ще получим същата стойност за функцията за отрицателна стойност на числото. И това ни води до формалната дефиниция. Ако дадена функция е четна, или мога да кажа функцията е четна, ако и само ако – значи е четна. Не обърквай термина четна функция и термина четно число. Те са напълно различни като идеи. Така, че има... няма очевидна връзка, за която аз знам, между четни функции и четни числа или нечетни функции и нечетни числа. Имаме четна функция, ако и само ако f(x) е равно на f(–x). Причината да не въведа това в началото е, защото тази дефиниция на четни функции, когато я разгледаш, си казваш: "Хей, какво означава това?" f(x) е равно на f(–x) и всичко, което означава е това. Това означава, че ако взема f(2) и f(–2), те са 4. Нека ти покажа с конкретния случай. f(2) е равно на f(–2). В този случай за f(x) = f(x^2), те са равни на 4. Това е просто друг начин да кажем, че функцията е симетрична спрямо... че лявата страна на функцията е симетричен образ на дясната страна на функцията спрямо вертикалната ос, спрямо оста y. За да се увериш, че е много логично, нека построя повече четни функции. Ще построя някои доста щури неща, за да се научиш да ги разпознаваш визуално. Нека е функция като... да кажем като тази. Може би скача чак до тук и прави нещо подобно. И след това от тази страна тя прави същото нещо. Това е симетричен образ, така че тя скача чак до тук. След това се движи така и след това така. Опитвам да построя това така, че те да са огледален образ едно на друго. Това е четна функция. Взимаш това, което се случва отдясно с тази функция и просто намираш симетричния образ спрямо оста y, и получаваш лявата страна на функцията. Можеш да видиш, че дори това се задържа. Ако взема някаква стойност. Да речем, че тази стойност тук е... Не знам, нека е 3. Нека f(3) тук е равно на... да кажем, че е 5. Това е 5. Виждаме, че f(–3) също е равно на 5. Това е, което нашето определение за четна функция ни казва. Може да построим, нека построя още една, за да сме наистина сигурни. Ще направя оста в този същия зелен цвят. Нека да направим още една подобна на тази. Може да имаш някаква тригонометрична функция. Ето как изглежда. Това изглежда така. И тя продължава и в двете посоки. Нещо подобно на това също е четна функция. Всички те са четни функции. Сега вероятно си мислиш: Какво е нечетна функция? Нека построя една нечетна функция. Нека направя осите отново. Оста x, оста y, и f(x) и ще ти покажа нечетна функция. Ще ти дам конкретна нечетна функция, може би най-популярната нечетна функция. Това е може би най-известната четна функция. И това е f(x), въпреки, че има вероятно много други конкуренти за най-известна нечетна функция. f(x) = x^3. Тя изглежда така и може би ти е позната графиката ѝ. Ако не е, можеш да я построиш с помощта на някои точки. Изглежда така. За да разпознаеш визуално нечетна функция, поглеждаш какво се случва отдясно на оста y. Повтарям, това е оста y, това е оста x. Имаш всичко това отдясно на оста y. Симетричният му образ спрямо оста y щеше да е нещо подобно. Ако лявата страна на тази графика изглежда по този начин, имаме четна функция. Но това не е така. За да стане това нечетна функция, ние веднъж сме отразили спрямо оста y, и след това отразяваме спрямо оста x, или друг начин да помислим за това е, отразяваме веднъж спрямо оста y и след това я правим отрицателна. Така или иначе, ще ни заведе там. Или можеш дори да го отразиш спрямо оста x, и после спрямо оста y, така че имаме две отражения. Ако вземеш това тук и след това го отразиш спрямо абсцисата. Получаваш тези стойности, получаваш тази част от графиката, точно тук. И ако се опиташ да го направиш с определена точка, аз правя това, за да потвърдя тази дефиниция, формалната дефиниция на нечетна функция , която ще е тази. Нека пробваме с една точка, да опитаме 2 отново. Ако имаме х= 2, f(2) е 8. Така че f(2) е равен на 8. Какво ще стане ако вземем –2. Ако вземем –2, f(–2), (–2)^3 е –8. f(–2) е равно на –8. Изобщо, ако вземем... нека го напиша тук... Ние просто вземаме един конкретен пример за тази конкретна функция. Имаме f(2) е равно на, не е f(–2). 8 не е равно –8. 8 е равно на отрицателното на –8. Това е положително 8. f(2) е равно на отрицателното на f(–2). Просто искам да се изясни. Разбрахме, че f от 2 е 8. 2^3 е 8. Ние знаем, че f(–2) е –8. (–2)^3 е –8. Имаме отрицателното на –8, минусите се съкращават и готово. Ето това по принцип е нечетна функция. Така че ето го определението. Имаме нечетна функция, ако и само ако f от x за всички х, които са дефинирани в тази функция, или за които тази функция е дефинирана, ако f(x) е равно на отрицателното на f(–x). Понякога ще го видиш по друг начин. Ако умножиш двете страни на това уравнение с –1, ще получиш – f(x) е равно на f(–x). Понякога ще видиш, когато то е разменено, и ще си кажеш,че f от –х е равно на... Нека запиша това внимателно... е равно на – f(x). Просто размених тези две страни. Нека просто построя още малко нечетни функции. Още някои нечетни функции. Ще онагледя това. Ще го направя малко по-добре. Така, че ако имаш... може би изглежда като... може би функцията прави нещо странно. Може би тя прави нещо странно, като това отдясно. Ако функцията беше четна, щяхме да го отразим там, но ние ще имаме и нечетна функция и ще помислим върху това отново. Останалата част от функцията ще изглежда така. Това, което съм направил с пунктирани линии, това тук е нечетна функция и можеш да погледнеш определението. Ако искаш да вземеш някоя стойност и след това вземеш f(а), което ще те постави тук, това тук ще бъде f(а). Ако вземеш отрицателната стойност на това, ако вземеш тук –а, f(–a) ще бъде тук. Така f(–a) ще бъде равно на... то ще бъде на същото разстояние от хоризонталната ос. Не е напълно ясен начинът, по който го направих сега. Може би ще бъде като това тук. Това тук ще бъде f от –а, което е на същото разстояние от началото, както f(а), но е отрицателно. Не го построих изцяло в графиката. Нека да направя още една от тези странни функции. Мисля, че вече разбираш идеята. Ще направя много проста нечетна функция, само за да ти покажа, че тя не винаги е нещо ненормално. Ще бъде много проста нечетна функция, y е равно на x. y = x, нещо такова. Опа. Y е равно минава през началото. Можеш да отразиш това, което е в дясно върху лявото, получаваш това и го отразяваш долу, получаваш всичко в третия квадрант. Това също е нечетна функция. Сега искам да покажа няколко неща, които не са нечетни функции, но на моменти могат да бъдат объркани с нечетни функции. Може да има нещо като това, когато имаш a... може би парабола, но това не е така, не е симетрично около оста y и се изкушаваш: "Имаме тази симетрия за този парабола", но не е е симетрично спрямо оста y, нямаш ситуация тук, където f (х) е равно на f(–x). Това не е нито едното. Нито нечетно, нито четно. Подобно на това може да видиш, например изместена кубична функция. Да кажем, че имаш нещо подобно. Имаме х^3 + 1, така че f(x) = x^3 + 1. Тя може да изглежда като това. Изкушаваме се да наречем това нечетна функция, но тъй като тя е изместена, вече не е нечетна функция. Можеш да погледнеш това визуално. Така, че това е f(x) = x^3 + 1. Ако това, което е от дясната страна, го отразим от лявата страна, ще получим нещо подобно, а след това ако отразим това, ще получим нещо подобно. Следователно това не е нечетна функция. Това не е лявото отражение и след това горното и долното отражение на това, което се случва в дясната страна. Това е, което ще бъде в действителност.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".