Тъждества за тангенс: симетрия

В предишното видео разгледахме отношението между косинуса и синуса на ъгъл. Взимаме горното рамо на ъгъла и го проектираме спрямо оста х или у (Ох или Оу), или спрямо двете. В това видео искам да помисля малко за тангенса на тези два ъгъла. Само да си припомним – знаем, че тангенс от тита е равен на синус на ъгъла върху косинус на ъгъла. И съгласно определението за единична окръжност, въпросът всъщност е: "Какъв е наклонът (ъгловият коефициент) на горното рамо тук?" Да си припомним, че наклонът показва изменението по вертикалната ос върху изменението по хоризонталната ос. Ако тръгнем от центъра, какво ще е изменението по вертикалната ос, от 0 до синус от тита? Изменението по вертикалната ос е синус от тита. Какво е изменението по хоризонталната ос? То е равно на косинус от тита. Следователно това е изменението в у върху изменението в х, за горното рамо на ъгъла. Следователно тангенс от тита е синус от тита върху косинус от тита, или можем да го разглеждаме като наклона на ето този лъч. Да помислим кои други ъгли ще имат същия тангенс от тита? Този лъч е колинеарен на ето този лъч. Ако ги съединим, получаваме права. Следователно тангенса на този ъгъл, от целия този розов ъгъл, тангенс от π плюс тита или от тита плюс π... Очевидно можем да запишем тита плюс π, вместо π плюс тита. Като имаме предвид определението за наклон, това трябва да е равно на тангенс от тита. Нека видим дали наистина е така. Тези двете трябва да бъдат равни, ако сме съгласни, че тангенсът на ъгъл е равен на наклона на неговото горно рамо. Разбира се, другата страна на ъгъла ще бъде положителната част на Ох, съгласно определенията, на които се опряхме. Нека видим на колко е равен тангенс от тита плюс π, по отношение на синус и косинус. Ще го напиша в розово. Тангенс... Това не е розово. Тангенс от π плюс тита ще бъде равен на... Слагаме скоби, за да изключим двусмислие. Равен е на синус от π плюс тита, или тита плюс π, върху косинус от тита плюс π. В предишното видео установихме, че синус от тита плюс π е същото като минус синус от тита. Следователно това е минус синус от тита. А косинус от тита плюс π, както вече установихме, е същото като минус косинус от тита. Имаме деление на две отрицателни стойности, съкращваме ги, и остава синус от тита върху косинус от тита, което наистина е тангенс от тита. И сме много щастливи от този факт. А какво да кажем за точките или за тези лъчи тук? Да разгледаме тази точка. На колко ще е равен тангенс от минус тита? Знаем, че тангенс от минус тита е същото като синус от минус тита върху косинус от минус тита. Вече намерихме синус от минус тита – това е минус синус от тита. Виждаме го тук – синус от минус тита. Това е отрицателната, обратната стойност, на синус от тита. Косинус от минус тита е същото като косинус от тита, така че тези са еднакви. Остава минус синус от тита върху косинус от тита, което е равно на минус тангенс от тита. Виждаме, че, ако вземем отрицателната мярка на ъгъл, ще имаме тангенс с отрицателен знак. Това е така, защото синусът – числителят, от определението за тангенс – променя знака си, а знаменателят си остава същият. Следователно тангенс от минус тита е същото като минус тангенс от тита. А какво да кажем за тази точка тук? Тук, по отношение на тита, когато разглеждаме π минус тита... Тангенс от π минус тита е равен на синус от π минус тита върху косинус от π минус тита. В предишното видео вече установихме, че синус от π минус тита е равен на синус от тита. Виждаме и тук, че имат напълно еднакви синуси, така че това е равно на синус от тита. А косинус от π минус тита е обратната стойност на косинус от тита – това е минус косинус от тита. Това отново ще бъде равно на минус синус върху косинус или на минус тангенс от тита, в което има смисъл. Наклонът на този лъч трябва да бъде същият като при този лъч тук. Можем да разгледаме този наклон като минус тангенс от тита. Гледайки тези двете, ако обединим лъчите, виждаме, че тези две пресичащи се прави имат наклони с противоположни една на друга стойности. Те са огледални образи спрямо Ох. Току-що видяхме, че, ако вземем един ъгъл и добавим π към него, тангенсът няма да се промени, защото всъщност ще си върху същата права. Правим обиколка от 180 градуса в обратна посока, но наклонът на лъча не се променя. Следователно тангенс от тита е равен на тангенс от тита плюс π. Но, ако вземем отрицателната мярка на ъгъла, ще получим отрицателната стойност на тангенса. Или, ако се придвижим дотук и вземем π минус ъгъла, също ще получим отрицателната стойност на тангенса. Дано това да ти е помогнало... Това е много полезно, когато решаваш тригонометрични задачи или намираш отношения, или дори когато се опитваш да използваш или да доказваш тъждества. Тук всъщност доказахме някои тъждества. Наистина е полезно да разглеждаме тези симетрии в единичната окръжност.