Въведение към радиани

Вероятно досега свикна с идеята да измерваш ъглите в градуси. Използваме ги в ежедневието си, решили сме някои примери, при които ако имаш ъгъл като този, може да го наречеш 30-градусов ъгъл; ако имаш ъгъл като този, може да го наречеш 90-градусов ъгъл; като често ще използваш ето такъв символ. Ако отидеш до 180 градуса, тогава ще построиш права линия. Ако имаш 360 градуса, тогава извършваш пълно завъртане и ако гледаш фигурно пързаляне на олимпийските игри и някой направи пълно завъртане, те казват: "О, направиха 360!" или особено в някои дисциплини като скейтборд и такива неща. Но е важно да осъзнаеш, макар да не е очевидно от самото начало, че цялата идея за градусите е система, конструирана от хората. Това не е единственият начин, по който можеш да измерваш ъгли. Ако помислиш самостоятелно върху това, защо наричаме пълното завъртане 360 градуса? Има някои възможни теории и те окуражавам да помислиш върху тях – Защо 360 градуса в културата ни е пълно завъртане? Има две теории... Едната идва от древните календари и дори нашите календари са близо до това, но древните календари са били базирани на 360 дни на година. Някои древни астрономи наблюдавали, че нещата изглеждали така, сякаш се движат с една 360-та от небето на ден. Друга теория е, че древните вавилонци силно харесвали равностранните триъгълници и имали система основана на 60 числа. Имали 60 символа, ние имаме само 10. Имаме основа 10, а те имали 60. В нашата система предпочитаме да делим нещата на 10, те предпочитали да делят нещата на 60. Ако това беше... ако имаш кръг и го делиш на 6 равностранни триъгълника. Всеки от тези равностранни триъгълници делиш на 60 части, понеже имаш числова система с основа 60. Може накрая да се окажеш с 360 градуса. В това видео искам да помислим за алтернативен начин за измерване на ъглите. Този алтернативен начин, въпреки че може да не изглежда логичен от самото начало, в определен смисъл е много по-чист математически, отколкото градусите. Не е базиран на културните артефакти на числова система с основа 60, нито на астрономически модели. Например някой извънземен на друга планета няма да използва градуси, особено ако градусите са мотивирани от земни астрономически феномени. Но може да използват това, което ние определяме като радиан. Има определено ниво на чистота тук - радиани. Нека стигнем до основата и да дефинираме какво е радианът. Нека начертая окръжност тук – и това е най-добрата окръжност, която мога да начертая. Не е лошо...и нека начертая центъра на окръжността и този радиус, и нека кажем, че този радиус, може би вече забеляза, че думата радиус е доста близка до радиан... Това не е съвпадение. Да кажем, че окръжността има радиус с дължина r. Нека построим един ъгъл, ще го нарека ъгъл θ (тита). Нека построим ъгъл θ. Нека наречем този ъгъл тук тита и да кажем, просто заради доказателството, че този ъгъл тук е такъв, че... така че ако погледнеш дъгата, която отсича този ъгъл – тази дума изглежда доста засукана... Нека начертая ъгъла. Ако погледнеш дъгата, която отсича ъгълът – тази дума просто се отнася до дъгата от окръжността, която лежи между рамената на тези два ъгъла. Тази дъга тук е отсечена от ъгъла, това е ъгълът θ. Нека запиша това – съответна на ъгъл θ. Да кажем, че θ е точно с правилния размер, така че тази дъга също е със същата дължина като радиуса на окръжността, тази дъга също е с дължината r. Да кажем, че трябва да намериш нов вид мярка за ъгъл и искаш да я наречеш радиан, което е доста близо до радиус. На колко радиана ще дефинираш, че е равен този ъгъл? Най-очевидният вариант, ако разгледаш радиана като начин да кажеш радиуси... Казваш, че това съответства на дъга с дължина един радиус. Защо тогава не наречем това тук един радиан? Защо не наречем това един радиан? Което е точно начинът, по който е дефиниран радианът. Когато имаш окръжност и имаш ъгъл от един радиан, дъгата, която съответства на ъгъла, е с дължина точно един радиус. Което можеш да си представиш, че е полезно, когато започнем да интерпретираме повече видове окръжности. Когато го дадеш в градуси, трябва да направиш изчисления и да помислиш за обиколката и всичко това. Да помислиш колко радиуса съответстват на ъгъла. Тук ъгълът в радиани ти казва точно колко е дължината на дъгата, която съответства на ъгъла. Нека направим два общи примера. При положение, че знаеш какъв ще е ъгълът в радиани, ако ние... нека начертая още една окръжност... това е центърът, започваме оттук. Какво ще се случи, ако имах един ъгъл, какъв ъгъл, ако трябваше да измервам в радиани, какъв ъгъл щеше да е този в радиани? Можеш да мислиш за това като за радиуси... Какъв ще е този ъгъл? Преминаваме една пълна обиколка. В градуси това ще е 360 градуса. Въз основа на това определение, колко ще е това в радиани? Нека помислим за дъгата, която съответства на този ъгъл – тя е цялата обиколка на тази окръжност. Тя е цялата дължина на тази окръжност. Каква е обиколката на една окръжност, изразена чрез радиуса? Ако това е дължината r, каква е обиколката на окръжността в r? Знаем, че ще е 2πr. Връщаме се обратно към този ъгъл...каква е дължината на дъгата, която съответства на този ъгъл? Колко радиуса? Тя е 2π радиуси. Тя е 2πr. Този ъгъл тук, нека го наречем ъгъл х. х в този случай ще е 2π радиани. И съответства на дъга с дължина 2π радиуси... Ако радиусът е една мерна единица, тогава това ще е 2π по 1, 2 π радиуси... Като знаем това, нека помислим как можем да преобразуваме радиани в градуси и обратно. Ако имах...и можем да следваме това тук. Ако направя една пълна обиколка, това е 2π радиана, на колко градуса ще е равно това? Вече знаем това. Пълна обиколка в градуси е 360 градуса. Мога да запиша градуси или да използвам обозначението за градуси. Нека всъщност запиша думата градуси. Може да направи нещата по-ясно, понеже използваме мерни единици и в двата случая. За да опростим това, можем да разделим двете страни на 2, в който случай на колко градуса ще е равно π радиани? Това ще е равно на 180 градуса. 180 градуса и мога да го запиша така или по този начин. Тук виждаш, че това е 180 градуса и можеш да видиш, че ако начертаеш окръжност около това, тогава си на половината около окръжността, така че дължината на дъгата или дъгата, която съответства на този ъгъл, е половината от обиколката или π радиуса... Наричаме това π радиани. π радиана е 180 градуса. От това можем да открием преобразуванията. На колко градуса ще е равен един радиан? За да направим това, просто трябва да разделим двете страни на π и в лявата страна ще ти остане 1, просто ще го запиша така, един радиан е равен на... просто делим двете страни, нека поясня какво правя, за да ти покажа, че това не е някаква магия. Деля двете страни на π. В лявата страна ни остава 1 и от дясната страна ни остава 180/π градуса. Тоест, 1 радиан е равен на 180/π градуса. Което започва да ни показва интересен начин за преобразуване. Нека помислим за това по обратния начин. Ако имам 1 градуса, колко радиана са това? Нека преработя това нещо тук. Казахме, че π радиани е равно на 180 градуса. Сега искаме да помислим за 1 градус. Нека решим за 1 градус. Можем да разделим двете страни на 180. Остава ни π върху 180 градуса е равно на 1 градус. Тоест, пи върху 180 радиана е равно на 1 градус. Това може да изглежда объркващо и трудно и за мен беше така отначало... Особено понеже не срещаме това в ежедневието си. При следващите няколко примера ще видим, че докато помним това, цялата тази идея, че 2π радиана е равно на 360 градуса или π радиана е равно на 180 градуса, които са двете неща, които помня... Винаги можем да извлечем тези неща. Може да се запиташ как да запомниш дали е π/180 или 180/π. За да преобразуваме тези две неща, просто помни и се надявам, че това ти изглежда по-логично, че 2π радиани са равни на 360 градуса. Ще решим няколко примера в следващото видео, за да се уверим, че сме свикнали да преобразуваме тези неща.