Тригонометрични функции и тригонометрични отношения в правоъгълен триъгълник

От дясната страна имаме няколко израза, които са отношения между различни елементи, дадени на тези два чертежа. А тук, от лявата страна, имаме синус на ъгъл MKJ, косинус на ъгъл MKJ и тангенс на ъгъл MKJ. Ъгъл MKJ е ето този ъгъл тук – идентичен с тита, следователно тези два ъгъла имат еднаква големина. Виждаме го тук. Искам да намерим кои от тези изрази са еквивалентни на кои от тези тук. Съветвам те да спреш видеото на пауза и да се опиташ да отговориш самостоятелно. Приемаме, че вече опита и започваме да го решаваме заедно. Този чертеж и това тук отляво ни навеждат на идеята от определението за единична окръжност на тригонометричните функции, тъй като това е единична окръжност, в която откриваме нещо подобно на определението за sin, cos и tg, защото се намираме в нещо като обикновен, светлосин правоъгълен триъгълник. Нека си припомним какво бяха синус, косинус и тангенс, защото ще ни е от полза. Синус е срещулежащ катет върху хипотенуза. Косинус е прилежащ катет върху хипотенуза, а тангенс е срещулежащ катет върху прилежащ катет. Можем да използваме това, както и да си припомним, че съгласно определението за единична окръжност, косинус на ъгъл е равен на координатата х, а синус на ъгъла, образуван при пресичането на този лъч с единичната окръжност, ще бъде равен на координатата у. Това, в което ще се убедим тук, е, че определението за единична окръжност всъщност е разширение на правилото за синус, косинус и тангенс. Нека разгледаме първо х върху 1. Имаме х – х е координатата х, както и дължината на този катет ето тук. За този ъгъл, тита, това е прилежащият катет. Следователно х е равно на прилежащия катет. Какво представлява единицата? Това е единична окръжност. Единицата е дължината на радиуса, който в този правоъгълен триъгълник е хипотенуза. Ако използваме определенията за sin, cos и tg, х върху 1 е прилежащия катет върху хипотенузата, а това е косинус. Тогава това ще бъде равно на косинус от тита, но тита е същото нещо като ъгъл MKJ. Те имат еднаква големина, така че косинус от MKJ е равен на косинус от тита, който е равен на х върху 1. Да разгледаме сега у върху 1. у ще бъде дължината на този катет ето тук. Нека го начертая в синьо. у ще бъде тази дължина. Спрямо ъгъл тита, това е срещулежащият катет. Коя функция дава отношението на срещулежащия катет към хипотенузата? Срещулежащият катет към хипотенузата? Това е синус от тита. Синус от ъгъл MKJ е същото нещо като синус от тита. Виждаме, че те имат еднаква големина и че това е същото нещо като у върху 1. Използвахме определенията за синус, косинус и тангенс, но можехме да използваме и определението за единична окръжност. х върху 1 е равно на х, а според определението за единичната окръжност, координатата х на пресечната точка на горното рамо на този ъгъл – да кажем този лъч ето тук – с единичната окръжност... Според определението за единичната окръжност това е косинус от този ъгъл. х е равно на косинус от този ъгъл и, пак според същото определение, координатата у е равна на синус от този ъгъл. Вместо като "х, у", можехме да запишем това като "косинус от тита, синус от тита". Ето така. Но да продължим. Имаме х върху у. Имаме прилежащ катет върху срещулежащ. Това е равно на прилежащ катет към срещулежащ. Тангенс е срещулежащ катет върху прилежащ, не обратното. Това е реципрочното на тангенс. Това ето тук е равно на 1 върху тангенс от тита. По-късно ще научим за котангенс – всъщност тук имаме точно това, но сега то не ни интересува. Затова можем да го изключим. След това имаме у върху х. Това изглежда добре. у е срещулежащият катет. х е прилежащият кате по отношение на ъгъл тита. Следователно това е равно на тангенс от тита. Тангенс от ъгъл MKJ е същото като тангенс от тита, който е равен на у върху х. Нека сега да разгледаме j върху k. Сега се пренасяме в този триъгълник; j върху k. Спрямо този ъгъл, който ни интересува, j е дължината на прилежащия катет, а k е дължината на срещулежащия катет. Това е прилежащ към срещулежащ катет. Равно е на прилежащ върху срещулежащ катет. Тангенс е срещулежащ катет към прилежащ катет, а не обратното. Отново имаме реципрочното на функцията тангенс, което не е сред нашите опции, следователно можем да го изключим. А сега k върху j. Това е срещулежащ катет към прилежащ катет. Срещулежащ катет към прилежащ катет. Това е равно на тангенс от тита. Равно е на тангенс от тита или тангенс от ъгъл MKJ. Това е равно на k върху j. Имаме m върху j – хипотенуза към прилежащ катет. Хипотенуза към прилежащ катет. Ако беше прилежащ катет към хипотенуза, щяхме да имаме косинус, но това е реципрочното. Това всъщност е 1 върху косинус от тита, не е от нашите опции, следователно просто ще го изключа. След това имаме неговото реципрочно, j върху m. Това е прилежащ катет към хипотенуза. Това е равно на косинус. Равно е на косинус от тита или косинус от ъгъл MKJ, така че можем да го запишем. Това е равно на j върху m. Остана едно последно – k върху m. Това е срещулежащ катет към хипотенуза. Това ще бъде синус от тита. Това ще бъде равно на синус от тита, което е същото като синус от ъгъл MKJ, което пък е идентично с всичките тези изрази. Това е равно на k върху m. И сме готови.