Запознаване с условна вероятност

Нека си представим, че се намираме в някакво странно казино, в което се играят доста странни игри. Приближаваме се до една маса, и на тази маса има празна торба. Крупието, което отговаря за масата, казва: "Виж, тук имам няколко топчета, три зелени топчета и две оранжеви топчета, и ще ги пъхна в торбата." Буквално ги пъхва в торбата. За да ти покаже, че действително топчетата са три зелени и две оранжеви, казва още: "Играта, която ти предлагам, или която избираш да играеш, се състои в това да погледнеш настрана и да бръкнеш в тази чанта – чантата не е прозрачна – опипваш топчетата, те всички се усещат по един и същи начин, и ако успееш да избереш две зелени топчета – ако можеш да извадиш от торбата едно топче, което е зелено, слагаш го на масата, след това бръкваш в торбата и изваждаш друго топче, и ако и то е зелено, тогава ще спечелиш награда: ще спечелиш един долар, ако извадиш две зелени топчета. И казваш: "това звучи като интересна игра, колко струва една?" И момчето ти казва, че цената е 35 цента. Очевидно това е казино с ниски залози. А моят въпрос към теб е: би ли искал/а да играеш тази игра? И не я свързвай със забавление. От икономическа гледна точка има ли за теб смисъл да играеш тази игра? Нека малко обмислим вероятностите. Първо – каква е вероятността първото топче, което изтеглиш, да е зелено? Каква е вероятността първото топче да е зелено? Всъщност нека напиша "първо зелено". Вероятност за първо зелено топче. Ами, общият брой възможни резултати – Има 5 еднакви вероятности за 5 топчета. Т.е. налице са 5 възможни резултата. 3 от тях удовлетворяват нашето събитие първото топче да е зелено. Т.е. има три пети вероятност първото топче да е зелено. Така имаме 3/5 вероятност. 3/5 вероятност би трябвало да кажа, че след този пръв избор ти един вид още си в играта. Това, което реално ни интересува, е вероятността за победа в играта. Искаш първото топче да е зелено, и второто да е зелено. Нека обмислим това. Каква е вероятността първото топче да е зелено. Ще напиша "з" за "зелено". И второто да е зелено. Сега може да се изкушиш да кажеш, "О, ами второто да е зелено е със същата вероятност, 3/5. Мога просто да умножа три пети по три пети. И ще получа девет върху двадесет и пет. Изглежда доста просто." Но тук трябва да се осъзнае какво правим с това първо зелено топче. Ние не го изваждаме, поглеждаме го и го връщаме обратно в торбата. Когато вадим втория път, броят на зелените топчета, които са в торбата, зависи от това какво сме извадили при първото изваждане. Спомни си, изваждаме топчето, ако е зелено или каквото там е. Каквото и да е, след първото изваждане го оставяме на масата. Не го връщаме, така че тук няма никакво върщане. И няма независими събития. Нека да изясним това, не е независимо. По-точно второто изваждане зависи от първото. Зависимо е от първото изваждане. Ако при първото изваждане топчето е зелено, тогава нямаме три зелени топчета в торба с пет топчета. Ако при първото изваждане топчето е зелено, сега има две зелени топчета в торба с четири топчета. Така че тук разглеждаме вероятността да се случат две неща. Да, определено това е равно на вероятността първото топче да е зелено, умножено по... сега това е един вид новото – по вероятността второто топче да е зелено... и тази малка черта тук, тази права черта тук, тя означава "при условие, че". "При условие, че", това означава "при условие, че". "При условие, че" първото топче е зелено. Каква е вероятността второто топче да е зелено, при условие, че първото топче е зелено? Начертахме тази схема. Ако първото топче е зелено, има четири възможни резултата, вече не са пет. И два от тях удовлетворяват нашите критерии. Така че вероятността първото топче да е зелено и второто да е зелено ще е вероятността първото да е зелено – така че ще имаме три пети, умножено по вероятността второто топче да е зелено, при условие, че първото е зелено. Сега имаме едно топче по-малко в торбата и приемаме, че при първото изваждане топчето е било зелено. Така че са останали само две зелени топчета. От тук каква излиза общата вероятност? Нека видим. Три пети, умножено по две четвърти; две четвърти са равни на една втора. Това ще е равно на три пети, умножено по една втора, което дава три десети. Или можем да запишем това като 0,30. Или можем да кажем, че има 30 процента вероятност да се извадят две зелени топчета, когато не извършваме някаква замяна. Та при това, което ни е дадено, нека пак ти задам един въпрос. Ще искаш ли да играеш тази игра? Ако играеш тази игра много, много, много, много пъти, горе-долу имаш 30 процента вероятност да спечелиш един долар. Още не сме разглеждали този материал, така че твоята очаквана стойност реално ще е 30 процента, умножени по един долар. Това ти дава предварителна представа. Това ще бъдат тридесет цента. Тридесет процента вероятност да се спечели един долар можем да очакваме, долу-горе, ако играем играта много, много, много пъти, тази игра да ни донесе 30 цента. Ще дадеш ли на някого 35 цента, за да получиш средно 30 цента? Не! Няма да искаш да играеш тази игра. Сега искам да прецениш дали ще искаш да играеш тази игра, ако след първото теглене можеш да замениш зеленото топче. След първото изваждане на топчето, можеш да върнеш зеленото топче . Ще искаш ли да играеш играта при това условие?