Въведение към линейно уравнение на права по дадени точка от правата и ъглов коефициент

Начертал съм една жълта права. Да кажем, че знаем две неща за тази права. Знаем, че има ъглов коефициент (наклон) m и че точката (a; b) лежи на правата. Въпросът, на който ще опитаме да си отговорим, е можем ли лесно да намерим уравнение за тази права, като използваме дадената информация. Нека опитаме. Всяка точка от тази права, или всяко (x; y) от правата, трябва да отговори на условието, че наклонът между тази точка... да кажем, че това е точка (x; y) – произволна точка от правата. Това, че точката лежи на правата, ни казва, че наклонът между (a; b) и (x; y) трябва да е равен на m. Нека използваме този информация, за да съставим уравнение. Какъв е наклонът между (a; b) и (x; y)? Припомни си, че ъгловият коефициент (наклонът) е просто промяната на у върху промяната на х. Нека запиша това. Ъгловият коефициент е равен на промяната на у върху промяната на х. Този малък триъгълник е гръцката буква делта, с която обозначаваме накратко "промяна в". Да видим нашата промяна на у. Ако тръгнем от у = b и стигнем до това произволно у тук, тази промяна в у ще е (у – b). Нека запиша това със същите цветове. Така, това ще е у минус малкото ми оранжево b. И това върху промяната на х. По същата логика, започваме при х = а и завършваме при х равно на това случайно х, което сме си избрали. Значи, промяната в х ще бъде тази крайна тачка минус началната ни точка, минус а. И знаем, че това е наклонът между тези две точки. Това е наклонът между всеки две точки от тази права. И това ще е равно на m. Ето какво току-що направихме – съставихме уравнение, което описва тази права. Може да не е във вид, с който сте свикнали, но това е уравнение, което показва, че всяка точка (x; y), която изпълнява това уравнение, ще бъде на правата, защото за всяка точка (x; y) и тази точка тук, (a; b), ъгловият коефициент ще бъде m. Нека сега обърнем това във вид, който ще разпознаем по-лесно. Ще поставя това. За да опростя израза малко, или поне за да се отърва от това (х – а) в знаменателя, ще умножа двете страни по (х – а). Тогава имаме (х – а) от лявата и (х – а) от дясната страна. Нека сложа скоби тук. Умножаваме двете страни по (х – а). Целта е да получим (х – а), делено на (х – а), което е равно на 1. И от дясната страна ще имаме просто m по (х – а). Всичко това е опростено до у – b = m(х – а). Това тук е видът на уравнението, който математиците наричат уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата. Значи това тук е уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата, което описва тази права. А защо се нарича така? Много е лесно да изследваме това име. Ето това е ъгловият коефициент (наклонът) m на правата (в зелено). Мога да сложа двете точки върху нея. Ако точка (a; b) лежи върху тази права, имам ъгловия коефициент по (х – а) е равно на (y – b). Сега да видим защо това е полезно и защо хората го използват. Нека вече не използваме просто (a; b) и ъглов коефициент m. Нека бъдем малко по-специфични. Да кажем, че ни е дадено, че имаме права, чийто ъглов коефициент е 2 и да кажем, че тя минава през точката (–7; 5). Много бързо можем да използваме тази информация и знанието си за уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата, за да запишем това в този вид. Ще кажеш: уравнение, което съдържа тази точка и има такъв ъглов коефициент е (у – b), което е 5, у минус координата на точката, която лежи на правата, е равно на ъгловия коефициент по х минус координата х на точката, лежаща на правата. Значи, минус –7. По този начин сме записали уравнение, което има ъглов коефициент 2 и което съдържа ето тази точка. И ако не ни харесва това х минус –7 тук, можем да го препишем като х + 7. Това е най-чистата форма уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата. Ако искаме да опростим малко, можем да запишем като у – 5 = 2(х + 7). И това е само един начин да изразим уравнението на тази права – има и много други. Този, с който сме най-запознати, е уравнение по дадени ъглов коефициент и точка на пресичане с Оу. Можем лесно да превърнем това в този вид. За да го направим, трябва просто да разкрием скобите и да умножим по това 2. Получаваме у – 5 = 2х + 2 по 7, което е равно на 14. И сега можем да се освободим от това –5 отляво, като добавим 5 към двете страни на уравнението. И тогава от лявата страна ни остава у, а от дясната 2х + 19. Това тук е уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу. Имаме ъгловия коефициент и пресечната точка с Оу. Значи това е уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу. А това горе е уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата.