Базис на подпространство

Да кажем, че имаме подпространството V. Всичко за това какво е подпространство учихме в предишния видео клип. То е равно на линейната обвивка на някакво множество от вектори. В последното видео ти показах, че линейната обвивка на произволно множество от вектори е валидно подпространство. Това е линейната обвивка на векторите v1, v2 и така нататък общо n вектора. Всички тези са вектори. Трябва да кажа, че всички тези вектори са линейно независими. Така че v1, v2 и така чак до vn, представляват множество от вектори, които са линейно независими. И преди да минем към новата тема, да преговорим какво точно означава линейна обвивка. Линейна обвивка означава, че това множество, това подпространство включва всички възможни линейни комбинации на всички тези вектори. Досещаш се, мога да имам всички комбинации за всички различни коефициенти с. Значи с1 по v1, плюс с2 по v2 и така чак до cn по vn за всички възможни скалари с индекс i за всички реалните числа. Ако вземеш всички варианти на тези и поставиш тези вектори в множество, това е линейната обвивка и също така дефинираме и подпространството V. Определението за линейна независимост е, че единствено решение на с1 по v1, плюс с2 по v2, плюс... и така чак до cn по vn, че единственото решение, когато това е равно на нулевия вектор – може би да сложа знак за вектор тук – е всички тези членове да са равни на нула. с1 е равно на с2, е равно на всички тези. Всички те са равни на нула. Един по-логичен начин да си представим това е, че не можем да представим никой от тези вектори като комбинация от останалите вектори. Ако всички тези условия са изпълнени, тогава линейната обвивка на това множество от вектори е равна на подпространството или представлява подпространство, или линейната обвивка е това подпространство, и че всички тези вектори са линейно независими, тогава можем да кажем, че това множество от вектори – тогава можем, бихме могли да наречем това множество от вектори S. Като казваме, че S е равно на v1, v2 чак до vn. Равно е на това множество от вектори. Тогава можем да кажем, и това е главното: можем да кажем, че това S е базис за V. Ето тази дефиниция исках да дам. Ако нещо е базис на едно множество, това означава, че тези вектори, ако вземем линейната обвивка на тези вектори, можем да конструираме... можем да стигнем до всеки вектор в това подпространство и че тези вектори са линейно независими. Има няколко начина да разсъждаваме за това. Единият е, че има много неща, които може да са линейна обвивка на нещо. Например, ако това е линейната обвивка на V, тогава също и... ще добавя още един вектор. Ще дефинирам друго множество. Ще дефинирам множеството Т, което да съдържа цялото множество S: v1, v2 и така нататък до vn. Но то съдържа и този друг вектор. Ще го нарека специален вектор v. Значи Т е множеството S плюс още един вектор. Като този вектор е равен на v1 + v2. Очевидно е, че това не е линейно независимо множество. Но ако те попитам каква е линейната обвивка на Т, линейната обвивка на Т отново е това подпространство V. Само че тук имам този допълнителен вектор, който не е линейно независим. Това множество не е линейно независимо. Т е линейно зависимо. В този случай Т не е базис за V. И аз ти показах този пример, защото това е моят начин да си представя какво е базис, базисът реално е минималния набор от вектори, които ми трябват... Ще го запиша. Това не е формално определение, но аз си обяснявам базиса... ще сменя цветовете... като нещо наистина... ще взема по-хубав цвят. Базисът е минимумът... ще го сложа в кавички, защото не съм дефинирал това. Минималното множество от вектори, чиято линейна обвивка е пространството, което е базис на линейната обвивка на подпространството. В този случай това е минималната система от вектори. Още няма да го доказвам, но можеш да видиш това. Тази система от вектори ето тук, тя е линейна обвивка на подпространство, но очевидно не е минималната система от вектори. Защото линейната обвивка на това нещо, аз мога да премахна този последния вектор ето тук. Мога да махна този вектор и все пак... и после линейната обвивка на векторите, които остават, отново ще е линейна обвивка на подпространството V. Значи този вектор е излишен. В един базис няма излишни вектори. Всеки един от тези вектори е необходим, за да конструираме всеки произволен вектор в подпространството V. Сега ще реша няколко примера. Да вземем няколко вектора. Да кажем, че искам да намеря множеството от вектори, като ще работя в R2. Да кажем, че имам вектор [2;3]. Да кажем, че имам друг вектор [7; 0]. Най-напред да помислим за линейната обвивка на това множество от вектори. Това е множеството от вектори S. Каква е линейната обвивка на S? Кои са всички линейни комбинации на тези вектори? Да видим дали е всичко от R2. Ако това е всичко от R2, това означава, че линейната комбинация на тези ще е... че винаги можем да конструираме всеки вектор в R2 чрез линейна комбинация на тези вектори. Ако имам с1 по [2;3] плюс с2 по [7;0], ако е вярно, че линейната им обвивка е цялото пространство R2, тогава трябва да можем да представим... винаги трябва да можем да намерим такива с1 и с2, че да построим всяка точка в R2. Да видим дали можем да покажем това. Получаваме 2с1 плюс 7с2 е равно на х1. После имаме 3с1 плюс 0с2. Плюс 0 е равно на х2. Ако вземем второто уравнение и разделим двете му страни на 3, ще получим, че с1 е равно на х2 върху 3. Ако заместим в първото уравнение, получаваме 2/3... просто замествам с1 ето тук. Значи 2/3 х2. 2 по х2 върху 3 е равно на 2/3 по х2. Плюс 7с2 е равно на х1. Сега какво можем да направим? Можем да извадим 2/3х2 от двете страни. Ще го направя ето тук. Получаваме, че 7с2 е равно на х1 минус 2/3 х2. Делим двете страни на 7 и получаваме с2. Ще го направя с жълто. Получаваме с2 е равно на х1 върху 7, минус 2/21 по х2. Сега, ако ми дадеш произволни х1 и х2, като и х1, и х2 са реални числа, ние разглеждаме само... тук работим само с реални числа. Даваш ми две произволни реални числа. Аз взимам х2 делено на 3 и ти давам стойността на с1. После взимам х1, делено на 7, и изваждам 2/21 по х2 и ти давам с2. Това никога няма да даде грешка. Не делим на никое от тези. Не трябва да се притесняваш, ако тези са равни на нула. Тези две формули ще работят винаги. Даваш ми произволни х1 и х2, и аз винаги мога да намеря коефициентите с1 и с2. Което реално означава, че намираме линейна комбинация, която е равна на твоя вектор. Значи линейната обвивка на S е R2. Вторият въпрос е дали тези вектори са линейно независими? Линейна независимост означава, че единственото решение на уравнението... ще сменя цветовете. Единственото решение на уравнението с1 по първия вектор плюс с2 по втория вектор е равно на нулевия вектор, единственото решение на това, е когато и двете константи тук са нула. Да видим дали е вярно. Вече го решихме, так че ако х1... в този случай х1 е равно на 0 и х2 е равно на 0. Това е просто специален случай, в който ги приравнявам на нулевия вектор. Ако искам да получа нулевия вектор, с1 е равно на 0/3. Значи с1 трябва да е нула. с2 е равно на 0/7 минус 2/21 по 0. Значи с2 също трябва да е равно на 0. Единственото решение на това е, когато направим и двете константи да бъдат равни на нула. Значи тези два вектора, т.е. S е също така и линейно независимо множество. Линейната му обвивка е равна на R2 и е линейно независимо. Така че категорично можем да кажем, че S, че множеството от вектори S, е базис за пространството R2. А дали това е единственият базис на пространството R2? Можем да начертаем едно елементарно множество от вектори. Ще направя това множество. Ще го означа с Т. Ако дефинирам Т да е множеството от [1;0] и [0;1], линейната му обвивка R2 ли е? Да кажем, че искам да получа... искам да стигна до [х1; х2]. Как мога да построя това от тези два вектора? Ако винаги просто умножавам х1 по [1;0] и х2 по [0;1], винаги ще получавам [х1; х2]. Така че това определено е линейната обвивка на R2. Дали е линейно незивисимо? Мога да ти го покажа. Ако искаш да приравниш това на нулевия вектор, ако това е 0 и това е 0, тогава това трябва да е 0 и това трябва да е 0. И това е очевидно. Няма никакъв начин да получиш един от векторите като мащабирана версия на другия. Никога няма да получиш тук 1, като умножаваш по каквото и да е, нито обратното. Така че векторите в множеството са линейно независими. И ти показвам това, защото искам да ти покажа, че това множество Т е линейна обвивка на R2. То е линейно независимо, така че Т също така е базис на R2. Исках да ти покажа това, за да видиш, че ако разглеждам векторното подпространство, то R2 е валидно подпространство на себе си. Можеш да провериш това. Но едно подпространство няма само един базис. Може да има няколко базиса. Всъщност, обикновено има безкраен брой базиси. В този случай S е валиден базис и Т също е валиден базис на R2. За да знаеш какво представлява Т, в този случай тук, това се нарича стандартен базис. Това е стандартен базис. Точно с него обикновено работиш в часовете по математически анализ или физика. Може би си спомняш от часовете по физика, че това са единичният вектор i и това е единичният вектор j. Това е стандартният базис за двумерна декартова координатна система. Това, за което е полезен базисът, е че винаги можеш... това не се отнася само за стандартния базис, можеш да представиш всеки вектор в подпространството. Можеш да представиш всеки вектор в твоето подпространство чрез уникална комбинация от векторите в твоя базис. Нека да ти покажа това. Да кажем, че множеството v1, v2 и така до vn, това е базис на – не знам, просто някакво подпространство U. Значи това е подпространство. Това означава, че тези вектори са линейно независими. Също така означава, че линейната обвивка на тези вектори, всички линейни комбинации на тези вектори ще дадат всички възможни вектори, всички възможни компоненти, всички различни членове на U. Сега искам да ти покажа, че всеки член на U може да бъде уникално дефиниран с уникална комбинация от тези вектори. Искам да поясня това. Да кажем, че моят вектор а принадлежи на подпространството U. Това означава, че вектор а може да бъде представен като линейна комбинация на тези вектори. Тези вектори имат линейна обвивка U. Това означава, че те могат да представят нашия вектор а като с1 по v1 плюс с2 по v2. Това са вектори. И така нататък чак до cn по vn. Сега искам да ти покажа, че това е уникална комбинация. За да го покажа, ще използвам доказване чрез отхвърляне на противното. Да кажем, че съществува друга комбинация. Да кажем, че мога да го представя чрез друга комбинация d1 по v1 плюс d2 по v2 плюс до dn по vn. Какво става, ако извадя от а от а? Ще получа нулевия вектор. Да извадим тези два израза. Ако извадя а от а, а минус а очевидно е нулевият вектор. Това определено е нулевият вектор и ако извадя тази страна от тази страна, какво получаваме? Ще използвам различен цвят. (c1 – d1) по v1 плюс (c2 – d2) по v2, и така до... моята черна дъска спира да работи... И така чак до с – дано се вижда. cn минус vn. Някак се вижда. cn минус... не, не става, пречи ми. Ще го препиша отляво, ето тук, където вероятно ще има по-малко проблеми. Значи нулевият вектор, ще го преработя ето така. Равен е на (c1 – d1) по v1, плюс всичко това до (cn – dn) по vn. Просто извадих самия вектор от самия себе си. Казах ти, че това е базисът. Има две неща, които... когато казваме базис, казваме, че линейната обвивка на тези вектори представлява подпространство. Или че линейната обвивка на тези вектори е подпространство. Което означава, че тези вектори са линейно независими. Ако те са линейно независими, тогава единственото решение на това уравнение – то е просто константа по v1 плюс друга константа по v2, и така нататък до константа по vn. Единственото решение на това уравнение е, ако всяка от тези константи е равна на нула. Значи всички тези константи трябва да са нули. Ето тук, преди да се повреди, това трябва да е равно на нула, това трябва да е нула. Това е определението за линейна независимост. Знаем, че това е линейно независимо множество. Ако всички тези константи са равни на 0, тогава знаем, че с1... ако това е равно на 0, тогава с1 е равно на d1, с2 е равно на d2, и така до cn е равно на dn. От факта, че това е линейно независимо, всички тези... всички тези константи трябва да са равни помежду си. И това е нашето противоречие. Приемам, че те са различни, но линейната независимост ме кара да приема, че са равни. Значи ако имаш базис на някакво подпространство, всеки член на това подпространство трябва да бъде уникално определен чрез уникална комбинация от вектори. И за да завършим нещата, аз казах, че това е базис на R2. Следващият ми въпрос е: и искам малко да се върна назад. Ако тук добавя друг вектор, ако просто добавя вектора [1;0], тогава S ще бъде ли базис на R2? Не, очевидно линейната обвивка пак ще бъде R2, но този вектор е излишен. Този вектор е в R2. Вече казах, че тези два вектора имат за линейна обвивка R2. Тогава всичко в R2 може да бъде представено като линейна комбинация на тези два вектора. Този вектор определено е в R2, така че той може да бъде представен чрез линейна комбинация на тези два вектора. Значи това не е линейно независимо множество. То е линейно зависимо. И понеже е линейно зависимо, тук имаме излишна информация. Значи това вече не е базис. За да бъдат базис тези, трябва да създадем минимална система от вектори, чиято линейна обвивка или най-ефективната система от вектори, чиято линейна обвивка е R2 в този случай.