Координати спрямо базис на подпространство

Нека е дадено едно подпространство в Rn Да кажем, че това е подпространството V в Rn. И да кажем, че множеството В – ще го направя в синьо – нека множеството В да е базис на V, като то съдържа някакви вектори. Да кажем, че то съдържа векторите v1, v2... vk. Значи имаме k вектора, т.е. подпространството V има размерност k. Това означава, че ако имаме някакъв вектор а – да кажем, че имаме някакъв вектор а, който принадлежи на нашето подпространство, това означава, че мога да го представя като линейна комбинация на тези вектори ето тук в базиса. Значи мога да запиша, че вектор а е равен на някаква константа по първия базисен вектор, плюс някаква друга константа по втория базисен вектор. После продължаваме така чак до k-ата константа по k-ия базисен вектор. Аз използвах доста свободно термина координати в миналото. Но сега искам да дадем едно по-прецизно определение. Ще нарека тези константи тук с1, с2 и така нататък до ck, ще ги нарека – ще използвам нов цвят – координати на вектор а спрямо базиса В. Можем да го запишем и по следния начин. Можем също да запишем, че имаме нашия вектор а. Но ако искам да представя този вектор с координати спрямо множеството базисни вектори В (базиса В), ще го запиша ето така. Слагам скоби и поставям тук базисното множество. Това ни казва, че ще представя координатите по отношение на това базисно множество. Значи ще го запиша по следния начин. Просто слагам тези коефициенти тук, тези константни членове, в линейната комбинация, която имаме, за да представим вектор а чрез базисните вектори. Значи това са с1, с2 и така нататък до ck. Тук има нещо интересно, или може би много интересно нещо, което да посочим. V е подпространство на Rn, така че всички вектори във V също ще принадлежат на Rn. Но подпространството V съдържа k вектора. То има размерност k. k може да е равно на n, но може и да е по-малко от n. Може би имаме два вектора в R3, като в този случай V ще е равнина в R3, но можем да си го представим и за подпространство с по-голям размер. Но когато дефинираме нещо в нашето подпространство по отношение на базиса, обърни внимание, че имаме само такъв брой координати, колкото е размерът на нашето подпространство – имаме само толкова на брой координати. Въпреки че принадлежи на Rn, ние ще имаме само k на брой координати. Защото, на практика, ние дефинираме позицията в... да кажем, че ако това е равнина, позицията в тази равнина, която е нашето подпространство. Да направим това малко по-конкретно. Ще дам няколко примера. Да кажем, че имаме някакво подпространство. Ще изчистя това. Да кажем, че имаме няколко вектора. Да кажем, че вектор v1 е векторът [2;1]. Да кажем, че вектор v2 е [1;2]. Може би веднага виждаш, че базисът или множеството от векторите v1 и v2 са базис на R2, което означава, че всеки вектор в R2 може да се представи като линейна комбинация от тези два вектора. Мога да го покажа графично. Но ние знаем също, че R2 е двумерно пространство, и имаме тези два базисни вектора тук, които са линейно независими. Можеш да провериш това. Всъщност най-лесният начин да се провери това е просто да се вземат векторите [2;1] и [1;2] и да се преобразуват в ешелонна форма, при което ще се получи единичната матрица с размери 2 х 2. Ще получим матрицата [1;0;0;1], което ти показва, че тези два вектора са базисни вектори. Всичко това беше преговор. Вече сме го виждали. Сега ще го онагледя. Ще начертая тези вектори. Ако ги начертая така, както обикновено чертая тези вектори, как ще изглежда вектор [2;1]? Ще направя тук координатните оси. Ще ги начертая. Ще използвам нов цвят. Това е вертикалната ос, това е хоризонталната ос. Вектор [2;1] може да изглежда ето така. Отиваме надясно с 1, 2, а после нагоре с 1. Значи това тук е първият вектор, ето тук. Това е вектор [2;1], нашият първи вектор. После вектор [1;2] изглежда ето така, ако го начертая в стандартно положение. 1 надясно и после 2 нагоре. Вектор [1;2] изглежда ето така. Когато говорим за координати по отношение на този базис... ще избера някакъв член на R2. Ще го направя такъв, че лесно да мога да намеря линейна комбинация. Нека да вземем 3 по v1, плюс 2 по v2. На какво ще е равно това? Това ще е равно на вектор... Значи 3 по 2, което е 6, плюс 2 по 1. Значи първият елемент на вектора е 8, а после имаме вектора 3 по v1, плюс 2 по това. Става [8;7], нали? 3 плюс, 2 по 2, това е 7, векторът е [8;7]. Ако искам да начертая вектор [8;7] по традиционния начин, ще имаме 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, а после имаме нагоре 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ще получим вектор – няма да го чертая тук, но той специфицира тази точка ето тук. Това ще е тази точка. Ако разглеждаме тези елементи като координати, това можем да разглеждаме като точката (8;7) ето тук. Може би ще го запиша ето така. Това е точката (8;7). Ако искам да начертая този вектор в стандартна позиция, ще начертая един вектор, който стига до ето тук. Сега, имаме този базис тук, този базис В, представен чрез тези два вектора. Това са v1 и v2. Сега искаме да изразим този вектор. Да кажем, че това е вектор... ще го означа като вектор а, значи вектор а е равен на [8;7]. Знаем, че за да представим вектор а като линейна комбинация на нашите базисни вектори, това ще бъде 3 по v1 плюс 2 по v2. Само въз основа на това, което ни беше дадено в началото на видеото, можем да напишем, че вектор а спрямо базиса В – може би да взема същия цвят като на базиса – спрямо базиса В, е равен на тези коефициенти на базовите вектори, е равен на 3 и на 2. Да видим можем ли графично да намерим логиката в това. Казваме, че в някаква нова координатна система, където този вектор може да се представи като [3;2] – начинът, по който разглеждаме новата координатна система, е... в старата координатна система ние разглеждахме единици по хоризонталната ос, и това беше първата ни координата. После използваме единици във вертикалната посока, това е втората ни координата. Коя ще е първата координата в новата ни координатна система? Първата координата ще е кратна на v1. Това е v1, или това е v1, значи това са кратни на v1. Значи 1 по v1. После имаме 2 по v1, идваме ето тук, до какво ще ни доведе 2 по v1? 2 ще ни доведе до вектор [4;2]. 3 по v1 ще ни даде [6;3] . Да видим, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Значи това е 6 и после 3, ето така. После имаме 4 по v1, което ни дава [8;4]. Досещаш се, че това, което чертая тук, е един вид ос, това е вид координатна ос, оста на първият член, генерирана от v1. Значи мога да я начертая – ще използвам този син цвят – можеш да си го представиш по следния начин. Това ще е една права, ето така. После координатата ни казва колко по v1 имаме. Значи мога да разглеждам една такава координатна система. Вместо да имаме стъпки от една единица, имаме стъпка, равна на вектор v1. Ще го запиша по този начин. Като стане 9, 10, отиваме нагоре с още едно до 5. Нещо такова. За втората координата използваме стъпка, равна на v2. Това е първата стъпка от 1 по v2, после втората стъпка, ако отидем на 4, това ще е [4; 2]. Ето така. Това ще е [6; 3]. Ще бъде ето така. Това е [6;3]. Значи ще изглежда ето така. Ако искаш, можеш да го разглеждаш като един вид координатна система. Можеш да използваш тази нова "изкривена мрежа", в която всяка точка сега е отдалечена с някаква стойност в посока v1 и после е отдалечена със същата стойност в посока v2. Ще направя една такава оразмерена мрежа. Мога да начертая друга версия на v2, ето така, Просто всички кратни на вектор v2. Мога да ги изместя ето така. Мога да направя още една ос по същия начин. Мога да начертая още една ос. Тази не стана толкова добре. Мога да я направя ето така. Мога... но мисля, че разбираш идеята. Ще направя тази малко по-добре. Това може би щеше да стане по-добре с друг инструмент. После мога да направя всички кратни на вектор v1 ето така. Тук правя разграфена мрежа. Тя изглежда ето така, ето така и ето така. Можеш да си представиш една изместена разграфена мрежа, ако я направя навсякъде тези зелени и сини линии. В нашата нова координатна система да начертаем вектор [3;2]. Това означава 3 в първата посока, което е посоката на вектор v1. Това вече не е хоризонталната посока. Това е посоката на вектор v1. Отиваме с 1, 2 и после 3 стъпки, ето така. После отиваме с 2 стъпки в посоката на v2. Значи отиваме с 1, 2 в посоката на вектор v2. Така че нашата точка ще бъде точно ето тук. Можеш да си я представиш по този начин. Отиваме с 3 стъпки в посока v1 и после с 2 стъпки в посока v2, и получаваме тази точка. Можеш също първо да отидеш в посока v2, а после в посока v1, но и по двата начина ще получиш същата точка. Значи този вектор, или тази позиция, която е определена от вектор [8;7] може също така да се определи в новата ни координатна система с координатите [3;2]. Защото казваме 3 по v1, а после... плюс 3 по v1. Така се придвижваме в тази посока. Отиваме на три стъпки в посока v1, а после отиваме 2 стъпки в посока v2. Ето затова наричаме това координати. Буквално можеш да кажеш колко стъпки да се преместим в посока v1 и после колко стъпки да се преместим в посока v2. Но това може би предизвиква един очевиден въпрос. Защо досега не сме използвали тези координати? Имам предвид изобщо не сме ги използвали. Да кажем, че имаме някакъв вектор b, който е равен на – не знам, да кажем, че е равен на... нека този вектор да е в R2, защото е по-лесно да се онагледи – да кажем, че е равен на [3; –1]. Ако го начертаем, ще изглежда приблизително така. Преместваме се с 1, 2, 3, а после с 1 надолу. Ще изглежда ето така. Той определя тази точка. Но защо наричаме 3 и –1 координати? Ние ги наричаме така много преди да сме учили линейна алгебра. Наричаме ги координати, откакто за пръв път започнахме да се учим да правим графики. Защо ги наричаме координати? Или как тези координати съответстват на тези координати, свързани с базиса? Това са координатите, свързани с базиса. Това всъщност са координати, свързани със стандартния базис. Опитай се да си представиш какво представлява стандартния базис в R2. Може да имаме е1, което е вектор [1;0] и вектор е2, който е [0;1]. Това е всеобщо приетият стандартен базис за R2. Можем да кажем, че това е равно на множеството от векторите е1 и е2. Казваме, че това е стандартният базис на R2. Това е стандартен базис, защото тези два вектора са ортогонални помежду си. Този вектор е единица в хоризонталната посока. Този вектор е единица във вертикалната посока. И всеки вектор в R2 – да кажем, че имаме някакъв вектор [х;у] в R2, той е равен на х по е1 плюс у по е2, Т.е., ако искаме да представим някакъв вектор [х;у] чрез стандартния базис тук, той ще е равен на координатите по определението, което дадох по-рано в това видео за базисните вектори ето тук. Или тези коефициенти пред нашите вектори е1 и е2, те ще са равни на... коефициентът тук е х, а коефициентът тук е у. Значи тези координати, които ползваме открай време, те определено са координати. Те съответстват на нашето определение за координати, което дадох в това видео. Но може би можем да бъдем още малко по-точни. Можем сега да ги наречем координати, определени въз основа на стандартния базис. Можем да ги наречем – ето тези координати тук – стандартни координати. Просто исках да подчертая това, макар че то може да е много просто, или донякъде очевидно, но исках да ти покажа, че използваният досега термин "координати" не е в противоречие с това ново определение за координатите като коефициенти на векторите от базиса. Защото дори нашите "стари" координати, или по стария начин, по който ги използвахме, всъщност те са коефициентите на на нашите стандартни базисни вектори.