If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:13:34

Видео транскрипция

. Нека видим, ако можем да научим едно, две неща за хиперболата. Хипербола И от всички конични сечения, това е вероятно тази, която обърква хората най-много, защото не е толкова лесна за чертане, както окръжността и елипсата. Трябва да използвате малко повече алгебра. Но дано в хода на това видео, да се почувствате достатъчно комфортно с това и ще видите, че хиперболите по някакъв начин са по-забавни, отколкото всяко едно от другите конични сечения. И така, просто като преговор, искам да направя това просто, за да видите сходството във формулите или стандартната формула на различни конични сечения. Ако имате една окръжност, центрирана в 0, нейното уравнение е x на квадрат плюс y на квадрат е равно на r на квадрат. И ние видяхме, че това също може да бъде написано като - правя това, защото искам да покажа, че това наистина е просто същото нещо, като стандартно уравнението за елипса. Ако разделите двете страни на това на r на квадрат, получавате x на квадрат върху r на квадрат, плюс y на квадрат върху r на квадрат, е равно на 1. И така, това е една окръжност. И още веднъж, само като преговор, окръжност - всички точки на окръжността са на еднакво разстояние от центъра. Или в този случай, можете един вид да кажете, че главната ос и малката ос са на еднакво разстояние, че няма никаква разлика между двете. Винаги сте на еднакво разстояние от центъра. И така, това беше окръжност. Елипсата приличаше много на това, но тези две числа могат да бъдат различни. Тъй като вашето разстояние от центъра може да се променя. Това е х на квадрат върху а на квадрат, плюс y на квадрат, върху b на квадрат е равно на 1. Това е елипса. И сега, ще пропусна параболата за сега, защото парабола е един вид интересен случай и вие вече сте се докосвали до него. Ще навляза още по-надълбоко в това в някое бъдещо видео. Но хиперболата е много близка по формула на това. И така, има два начина, по които може да бъде написана една хипербола. И аз ще направя тези два начина. Тя може да бъде написана, като x на квадрат върху а на квадрат, минус y на квадрат върху b на квадрат е равно на 1. И забележете, единствената разлика между това уравнение и това е, че вместо плюс y на квадрат, имаме минус y на квадрат тук. И така, това ще бъде една хипербола. Другият ще бъде, ако знака за минус беше наобратно. Ако беше y на квадрат върху b на квадрат, минус x на квадрат, върху а на квадрат, е равно на 1. И така, сега минусът е пред члена x на квадрат, вместо пред члена y на квадрат. И това, което искам да направя сега, е да опитам да намеря, как чертаем графика за всяка една от тези параболи? Може би ще направим и двата случая. И в много учебници или дори, ако сте го гледали в интернет, ще ви дават формули. Но аз не обичам тези формули. Първо, защото винаги ги забравям. И вие ще ги забравите веднага, след като вземете теста. Може да искате да ги запомните, ако просто искате да можете да направите теста малко по-бързо. Но ще ги забравите. И второто нещо е, не само че ще ги забравите, но вероятно ще се объркате. Тъй като понякога винаги използват а-то под х и b под y или друг път винаги използват а под положителния член и b под отрицателния член. Така че, ако просто го запомните: О, а делено на b, това е наклона на асимптота и всичкото това, може да използвате грешните а и b. Така че, аз ви препоръчвам винаги да го доказвате отново за себе си. И ето това ще направим точно тук. То всъщност не отнема твърде много време. И така, това са двете хиперболи. И това, което обичам да правя, когато имам хипербола, е да намирам y. Така че в този случай, ако извадя x на квадрат върху а на квадрат от двете страни, получавам - нека сменя цвета - получавам минус y на квадрат върху b на квадрат. Това остава там. Е равно на 1 минус x на квадрат върху а на квадрат. И тогава, нека видим, искам да се отърва от този минус и искам да се отърва от това b на квадрат. Така че, нека да умножим двете страни на това уравнение по минус b на квадрат. Ако умножите лявата страна по минус b на квадрат, минусът и b на квадрат изчезват и вие просто оставате с y на квадрат е равно на минус b на квадрат. И след това минус b на квадрат по плюс, това става плюс b на квадрат върху а квадрат x квадрат. Почти сме готови. И след това получавате y е равно на - и правя това с цел - плюс или минус корен квадратен, защото то може да бъде плюс или минус корен квадратен. От - и нека да разменя тези, така че да имам първо положителния корен. b на квадрат върху а квадрат x квадрат, минус b на квадрат. Сега ще кажете: Сал, ти каза, че това е просто. Намирам това. Това изглежда като наистина сложно нещо. Но не забравяйте, че правим това, за да намерим нашите асимптоти на хиперболата, един вид само, за да добиете представа на къде отиваме. Нека го направя тук - всъщност искам да направя тук другата хипербола. Една хипербола, ако това е x, това е y оста, тя има две асимптоти. И асимптотите са тези прави, които хиперболата ще достигне. Така че, ако това са двете асимптоти - а те са винаги с отрицателен наклон една на друга - знаем, че при тази хипербола са също и ние ще покажем след секунда, коя е, тя също ще изглежда нещо като това, където ако достигнем безкрайност, достигаме по-близо и по-близо тази права и по-близо и по-близо до тази права. А тук тя също ще изглежда по следния начин - не я начертах перфектно; тя никога не допира асимптотата. Тя просто се приближава по-близо и по-близо, и по-близо, условно близо до асимптотата. Тя също ще изглежда така, където е отворена надясно и наляво. Или нашата хипербола ще е отворена нагоре и надолу. И още веднъж, ако отивате по-нататък и по-нататък, и асимптота означава, че това просто ще се доближи по-близо и по-близо до една от тези прави, без дори да я докосва. Тя ще се доближи безкрайно, както и ще се отдалечи безкрайно, тъй като x се получава безкрайно голямо. Така че, за да намерите, коя от тези е, нека просто помислим, какво се случва, когато х стане безкрайно голямо. И така, когато х достигне безкрайност. Когато х достигне безкрайност или х достигне минус безкрайност. И така, ще кажа плюс или минус безкрайност, нали? Няма значение, защото когато вземете минуса, това се получава на квадрат. Така че, това число става наистина голямо, когато достигнете плюс или минус безкрайност. И вие ще научите повече за това, когато всъщност правим граници, но аз мисля, че това е осезателно. Че това число става огромно. Това число е просто константа. То просто остава същото. Така че, когато x достигне плюс или минус безкрайност, тъй като то става наистина, наистина голямо, y ще бъде приблизително равно на - всъщност, мисля, че това е същото. Нека да... Винаги забравям означенията. Приблизително. Това просто означава не точно, а приблизително равно на. Когато x достигне безкрайност, то ще бъде приблизително равно на плюс или минус корен квадратен от b на квадрат, върху а на квадрат, x на квадрат. И това е равно на - сега можете да вземете квадратния корен. Не може да вземете квадратния корен на това алгебрично, но на това можете. Това е равно на плюс или минус b върху а, по x. Това ни казва, по същество, какви са двете асимптоти. Където наклонът на едната асимптота ще бъде b върху аx. Това може да ви даде плюс b върху ах и другата ще бъде минус b върху аx. И аз ще направя това с няколко примера, така че да стане малко по-ясно. Но ние все пак знаем как изглеждат асимптотите. Те са тези две прави. Защото това е плюс bаx е едната права, y равно на плюс bаx. Да речем, че е тази. Този асимптота тук е y е равно на плюс b върху ах. Знам, че не можете да разчетете това. И след това надолу наклонената асимптота, можем да кажем, че е у е равно на минус b върху ах. И така, това са двете асимптоти. Но ние все още трябва да намерим, дали хиперболата е отворена наляво и надясно или е отворена нагоре и надолу. И там, има два начина да направите това. Първият, казвате: Добре, това е приблизително. Това е, което достигате, когато х клони към безкрайност. Но ние виждаме тук, че дори когато x клони към безкрайност, ние винаги ще бъдем малко по-малки от това число. Защото ние изваждаме положително число от това. Ние изваждаме положително число и след това вземаме квадратния корен от цялото нещо. Така че, ние винаги ще бъдем малко по-ниско от асимптотата, особено когато сме в положителния квадрант. Нали? Така че за мен, това е начинът, по който обичам да го правя. Мисля, че ние винаги - поне в положителните квадранти; получава се малко по-объркващо, когато отидете в другите квадранти - ние винаги ще бъдем малко по-ниско от асимптотата. Така че, ние ще я доближаваме там отдолу. И тъй като знаете, че сте там, знаете, че ще бъде ето така и достигате тази асимптота. И след това, тъй като тя е отворена тук надясно, тя също ще се отваря и наляво. Другият начин да го проверите и може би това е по-интуитивно за вас, е да намерите, в първоначалното уравнение, дали х или у могат да бъдат равни на 0. Защото когато се отваряте надясно и наляво, забележете, че никога не получавате х да е равно на 0. Вие получавате у, равно на 0 тук и тук. Но никога няма получите х, равно на 0. И всъщност вашият учител може да иска да поставите тези точки и там вие просто замествате у, равно на 0. И можете просто да погледнете първоначалното уравнение. Всъщност, можете дори да погледнете това уравнение тук. Може ли x някога да е равно на 0? Ако погледнете това уравнение, ако х е равно на 0, този целия член тук ще се анулира и вие просто ще останете с минус b на квадрат. Което е, вземате b на квадрат и поставяте отрицателен знак пред него. Така че, това е отрицателно число. И след това вземате квадратния корен от отрицателно число. И така, нямаме работа с имагинерни числа точно сега. Така че, никога не можете да имате x, равно на 0. Но у може да бъде равно на 0, нали? Можете да сложите у, равно на 0 и след това можете да го намерите. Така че, в този случай, всъщност нека направим това. Ако y е равно на 0, получавате 0 е равно на квадратния корен от b на квадрат, върху а квадрат x квадрат, минус b на квадрат. Ако повдигнете двете страни на квадрат, получавате b на квадрат, върху а квадрат x квадрат, минус b на квадрат, е равно на 0. Знам, че това е разхвърляно. Така че, тогава получавате b на квадрат върху а квадрат х квадрат е равно на b на квадрат. Можете да разделите двете страни на b на квадрат, предполагам. Получавате 1 и 1. И след това можете да умножите двете страни по а на квадрат. Получавате x квадрат е равно на а на квадрат и след това получавате х е равно на плюс или минус корен квадратен от а. Така че, тази точка тук е точката а,0, а тази точка тук е точката -а,0. Сега нека се върнем към другата задача. Имам чувството, че може би ми свърши времето. Забележете, че когато x членът беше положителен, нашата хипербола се отваряше надясно и наляво. И вие вероятно получавате чрез чрез дедукция, че когато y терминът е положителен, който в този случай е този, ние вероятно ще се отворим нагоре и надолу. И нека просто докажем това за себе си. Нека да намерим y. Получавате y на квадрат върху b на квадрат. Ще да добавим x на квадрат върху а на квадрат към двете страни. Получавате, че е равно на х на квадрат върху а на квадрат, плюс 1. Умножавате двете страни по b квадрат. y квадрат е равно на b квадрат върху а квадрат x на квадрат плюс b на квадрат. Трябва да разпределите b на квадрат. Сега вземате квадратния корен. Ще сменя цветовете за това. И така, y е равно на плюс или минус корен квадратен от b квадрат върху а квадрат x квадрат, плюс b на квадрат. И отново - свърши ми мястото - ние може да използваме този същият аргумент, че когато x клони към плюс или минус безкрайност, това уравнение, това b, този малък постоянен член тук, няма да има много значение. Вие просто ще вземете квадратния корен от този член тук. Който по същество е b върху аx, плюс или минус b върху ах. И още веднъж, това са същите две асимптоти, които нарисувах отново тук, тази права и тази права. Но в този случай, ние винаги сме малко по-големи от асимптотите. Винаги сме малко по-големи от асимптотите. Така, в положителния квадрант, това ни казва, че ще бъдем тук нагоре и там надолу. Друг начин да мислите за това, в този случай е, когато хиперболата е вертикална хипербола, където се отваря нагоре и надолу, забелязвате че x може да бъде равно на 0, но y не може никога да бъде равно на 0. И това също има смисъл. Защото, ако погледнете нашата първоначална формула тук, x може да бъде равно на 0. Ако x беше 0, това щеше да се унищожи и ще можете просто да намерите у. Но ако y беше равно на 0, ще имате минус x квадрат върху а квадрат е равно на 1, а след това ще имате, ако сте решили това, ще получите x на квадрат е равно на минус а на квадрат. И ние не се занимавате с имагинарни числа, така че не можете да повдигнете на квадрат нещо, не можете да получите отрицателно число. Така че още веднъж, това би било невъзможно. Ето я тази подсказка, която ви казва, че тя е отворена нагоре и надолу. Тъй като в този случай, y никога не равнява 0. Във всеки случай, може да сте малко объркани, защото оставих абстрактни b и а. В следващите няколко клипове ще направя множество задачи, когато ще чертаем множество хиперболи, елипси и окръжности с реални числа. До скоро виждане. До скоро виждане.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".