Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 1 Геометрия

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 1 Геометрия > Раздел 4

Урок 1: Канонично уравнение на окръжност

Уравнение на окръжност - преговор

Направи преговор на канонично и разширено уравнение на окръжност и решавай задачи с тях.

Какво е канонично уравнение на окръжност?

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

Това е общият случай на канонично уравнение на окръжност с център в точката

(h; k)

и радиус

r

Уравнението на окръжност може да бъде представено и в разширен вид, който се получава при разкриване на скобите на двучлените, повдигнати на квадрат, и привеждане на израза в нормален вид чрез комбиниране на подобните членове.

Например каноничното уравнение на окръжността с център в точката

(1; 2)

и радиус

3

, е

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}

. Ето как се получава нейното разширено уравнение:

\begin{aligned} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 3^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) & = 9 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 & = 0 \end{aligned}

Искаш ли да научиш повече за уравненията на окръжности? Виж това видео.

Упражнения 1: Определяне елементите на окръжността от каноничното ѝ уравнение

Задача 1.1

(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 48

Кой е центърът на окръжността?

(

;

)

Какъв е нейният радиус?
Ако е необходимо, закръгли отговора си до втория десетичен знак.

единици

Искаш ли да опиташ да решиш още задачи като тази? Виж това упражнение и това упражнение.

Упражнения 2: Съставяне на уравнения на окръжности

Задача 2.1

Една окръжност има радиус от

\sqrt{13}

единици и център в точката

(- 9, 3; 4, 1)

Състави уравнението на тази окръжност.

Искаш ли да опиташ да решиш още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнения 3: Намиране на елементите на окръжността от разширено уравнение

За да намерим елементите на една окръжност от нейното разширено уравнение, трябва да го преработим в канонично уравнение, като използваме метода за допълване до точен квадрат.

Помисли как можем да преобразуваме разширеното уравнение

x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 = 0

като канонично уравнение:

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x) + (y^{2} + 14 y) & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x + 81) + (y^{2} + 14 y + 49) & = - 105 + 81 + 49 \\ (x + 9)^{2} + (y + 7)^{2} & = 25 \\ (x - (- 9))^{2} + (y - (- 7))^{2} & = 5^{2} \end{aligned}

Сега можем да кажем, че центърът на окръжността е точката

(- 9; - 7)

, а радиусът е

5

Задача 3.1

x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 53 = 0

В коя точка се намира центърът на тази окръжност?

(

;

)

Колко е радиусът на окръжността?

единици

Искаш ли да опиташ да решиш още задачи като тази? Виж това упражнение и това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.