If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 1 Геометрия

Раздел 4: Урок 1

Канонично уравнение на окръжност

Уравнение на окръжност - преговор

Направи преговор на канонично и разширено уравнение на окръжност и решавай задачи с тях.

Какво е канонично уравнение на окръжност?

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
Това е общият случай на канонично уравнение на окръжност с център в точката left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, ;, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis и радиус start color #e07d10, r, end color #e07d10.
Уравнението на окръжност може да бъде представено и в разширен вид, който се получава при разкриване на скобите на двучлените, повдигнати на квадрат, и привеждане на израза в нормален вид чрез комбиниране на подобните членове.
Например каноничното уравнение на окръжността с център в точката left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, ;, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis и радиус start color #e07d10, 3, end color #e07d10, е left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared. Ето как се получава нейното разширено уравнение:
(x1)2+(y2)2=32(x22x+1)+(y24y+4)=9x2+y22x4y4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
Искаш ли да научиш повече за уравненията на окръжности? Виж това видео.

Упражнения 1: Определяне елементите на окръжността от каноничното ѝ уравнение

Задача 1.1
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
Кой е центърът на окръжността?
left parenthesis
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
;
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Какъв е нейният радиус?
Ако е необходимо, закръгли отговора си до втория десетичен знак.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
единици

Искаш ли да опиташ да решиш още задачи като тази? Виж това упражнение и това упражнение.

Упражнения 2: Съставяне на уравнения на окръжности

Задача 2.1
Една окръжност има радиус от square root of, 13, end square root единици и център в точката left parenthesis, minus, 9, comma, 3, ;, 4, comma, 1, right parenthesis.
Състави уравнението на тази окръжност.

Искаш ли да опиташ да решиш още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнения 3: Намиране на елементите на окръжността от разширено уравнение

За да намерим елементите на една окръжност от нейното разширено уравнение, трябва да го преработим в канонично уравнение, като използваме метода за допълване до точен квадрат.
Помисли как можем да преобразуваме разширеното уравнение x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0 като канонично уравнение:
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=105(x2+18x)+(y2+14y)=105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x(9))2+(y(7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
Сега можем да кажем, че центърът на окръжността е точката left parenthesis, minus, 9, ;, minus, 7, right parenthesis, а радиусът е 5.
Задача 3.1
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
В коя точка се намира центърът на тази окръжност?
left parenthesis
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
;
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Колко е радиусът на окръжността?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
единици

Искаш ли да опиташ да решиш още задачи като тази? Виж това упражнение и това упражнение.