Съставяне на канонично уравнение на окръжност

Тук имаме една окръжност и са посочени някои точки. Тази кафеникава точка тук е центърът на окръжността, а тази синя точка е точка, която лежи на окръжността. С тази информация искам да спреш видеото на пауза и да видиш дали можеш да откриеш уравнението на тази окръжност. Нека решим това заедно. Нека първо помислим за центъра на окръжността. Центърът на окръжността ще е точката с координатите на тази точка. х координатата е -1, а у координатата е 1. Центърът е (-1; 1). Нека сега помислим какъв е радиусът на окръжността. Радиусът е разстоянието между центъра и която и да е точка на окръжността. Например... Например това разстояние. Дължината на тази отсечка. Да видим дали мога да я направя по-плътна. По-плътна версия на това. Тази отсечка тук. Има нещо странно... нещо странно с моя инструмент за писане. Пише много тънко. Нека го направя още веднъж. Така е по-добре. Дължината на тази отсечка тук е радиусът. Как можем да го намерим? Можем да построим правоъгълен триъгълник и да използваме формулата за дължина, която следва от питагоровата теорема. За да намерим дължината на тази отсечка, това е радиусът, можем да намерим промяната в х. Да погледнем промяната в х ето тук. Промяната в х, докато преминаваме от центъра до тази точка. Това е нашата промяна в х. А това тук е промяната ни в у. Промяната в х на квадрат плюс промяната в у на квадрат е равна на радиуса на квадрат. Това следва от питагоровата теорема. Това е правоъгълен триъгълник. Можем да кажем, че r^2 е равно на промяната в х на квадрат плюс промяната в у на квадрат. Плюс промяната в у на квадрат. Каква е промяната в х на квадрат? Колко е промяната ни в х? Промяната в х ще е равна на... когато преминем от радиуса към тази точка тук, х преминава от -1 до 6. Можеш да гледаш на това като крайното х минус началното х. 6 минус -1 е равно на 7. Нека... Имаме промяната в х, това тук, която е равна на 7. Ако гледаме на това като началната точка и на това като крайна точка, това ще е -7, но нас ни интересува абсолютната стойност на промяната в х. И след като го повдигнеш на квадрат, това става положително число. Промяната в х е 7. Промяната в у... започваме от у = 1 и отиваме до у = -4. Това ще бъде -4 минус 1, което е равно на -5. Тоест промяната в у е -5. Можеш да гледаш на това разстояние тук като на абсолютната стойност на промяната в у, което, разбира се, трябва да е абсолютната стойност на 5. Но като го повдигнеш на квадрат, това няма значение. Отрицателният знак изчезва. Това ще се опрости до 7^2, промяната в х на квадрат е 49. Промяната в у на квадрат е (-5)^2, което е 25. Получаваме, че r^2 = 49 + 25. На колко е равно 49 плюс 25? Да видим – това е 74. r на квадрат е равно на 74. Правилно ли пресметнах? Да, 74. Сега можем да напишем уравнението на тази окръжност. Окръжността ще е всички точки, които са... всъщност нека да.... Ако r на квадрат е равно на 74, тогава r е равно на корен квадратен от 74. Тоест уравнението на тази окръжност ще е всички точки (х; у), които са отдалечени с това разстояние от центъра. Кои са тези точки? Разстоянието е х минус х координатата на центъра. (х минус -1) на квадрат. Нека направя това в синьо. Минус -1, на квадрат. Плюс у минус у координатата на центъра – (у – 1)^2. На квадрат. Това е равно на r^2. Това е равно на дължината на радиуса на квадрат. Вече знаем, че r^2 = 74. 74. После, ако искаме малко да опростим това, изваждаме отрицателно и това става положително. Това се опростява до (х + 1)^2 + (у – 1)^2 = 74 Равно е на 74. И сме готови.